Jawab:

1. Untuk membuktikan bahwa φ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) adalah solusi dari persamaan Schrodinger untuk partikel yang berada dalam sumur potensial, pertama-tama kita harus mengingat bahwa persamaan Schrodinger untuk partikel yang tidak terinteraksi dengan medan potensial adalah sebagai berikut:

• -iħ ∂φ(x,t)/∂t = ħ² ∂²φ(x,t)/∂x²

Untuk memperoleh persamaan Schrodinger untuk partikel yang terinteraksi dengan medan potensial, kita tinggal menambahkan term potensial V(x) ke persamaan di atas, sehingga menjadi:

• -iħ ∂φ(x,t)/∂t = ħ² ∂²φ(x,t)/∂x² + V(x)φ(x,t)

Sekarang, untuk membuktikan bahwa φ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) adalah solusi dari persamaan Schrodinger, kita harus memasukkan φ(x) ke dalam persamaan di atas dan memastikan bahwa hasilnya sama dengan nol. Jadi, kita akan memasukkan φ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) ke dalam persamaan di atas:

• -iħ ∂/∂t [A sin(kx) + B cos(kx)] = ħ² ∂²/∂x² [A sin(kx) + B cos(kx)] + V(x) [A sin(kx) + B cos(kx)]

Kita bisa menyelesaikan persamaan di atas dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

• -iħ ∂A/∂t sin(kx) + iħ ∂B/∂t cos(kx) = -ħ²k²A sin(kx) - ħ²k²B cos(kx) + V(x)A sin(kx) + V(x)B cos(kx)

Kita bisa merapikan persamaan di atas dengan mengelompokkan himpunan sin(kx) dan himpunan cos(kx) seperti ini:

• [-iħ ∂A/∂t - ħ²k²A + V(x)A] sin(kx) + [iħ ∂B/∂t - ħ²k²B + V(x)B] cos(kx) = 0

Karena persamaan di atas harus sama dengan nol untuk semua nilai x, maka himpunan sin(kx) dan himpunan cos(kx) harus sama dengan nol. Jadi, kita harus memastikan bahwa kedua himpunan di atas sama dengan nol. Kita bisa menyelesaikan ini dengan mengambil kedua himpunan terpisah:

• -iħ ∂A/∂t - ħ²k²A + V(x)A = 0

• iħ ∂B/∂t - ħ²k²B + V(x)B = 0

Jadi, kita bisa membuktikan bahwa φ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) adalah solusi dari persamaan Schrodinger untuk partikel yang terinteraksi dengan medan potensial V(x).

2. Persamaan partikel dalam potensial bentuk tangga dengan kasus energi lebih kecil dari E < 0 adalah sebagai berikut:

• -ħ² ∂²φ(x)/∂x² + [V(x) - E]φ(x) = 0

Dimana V(x) adalah potensial bentuk tangga, E adalah energi partikel, dan φ(x) adalah fungsi gelombang partikel. Jika E < 0, maka partikel tersebut terikat oleh potensial bentuk tangga.