Jika Lim x->(3/2) (ax+b)/[cos(10x-15)sin(4x-6)] = 3/2, maka nilai a+b

Berikut ini adalah pertanyaan dari theseusgains pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Substitusi 3/2 ke dalam soal

$\displaystyle \lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{ax+b}{\cos(10x-15)\sin(4x-6)}=\frac{3}{2}\\\frac{\frac{3}{2}a+b}{\cos(15-15)\sin(6-6)}=\frac{3}{2}\\\frac{\frac{3}{2}a+b}{1(0)}=\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}a+b=0~\cdots (\mathrm{i})$

Pada penyebut hasilnya 0 dan jika a, b diketahui hasilnya juga 0. Ini berati diperoleh bentuk tak tentu $\displaystyle \frac{0}{0}$ . Agar diperoleh $\displaystyle \frac{3}{2}$ bisa menggunakan aturan L'Hôpital. Turunkan (derivatif) pembilang dan penyebut.

Untuk penyebut gunakan aturan perkalian turunan.

$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(10x-15)\sin(4x-6)\\\begin{matrix}u=\cos(10x-15) & v=\sin(4x-6)\\ u'=-10\sin(10x-15) & v'=4\cos(4x-6)\end{matrix}$

Jadi:

$\displaystyle \frac{d}{dx}uv=u'v+uv'\\=-10\sin(10x-15)\sin(4x-6)+4\cos(10x-15)\cos(4x-6)$

Karena terlalu panjang sederhanakan dengan identitas:

$\displaystyle 2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\\-2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)$

• -10 sin (10x - 15) sin (4x - 6) = 5 cos (10x - 15 + 4x - 6) - 5 cos [10x - 15 - (4x - 6)] = 5 cos (14x - 21) - 5 cos (6x - 9)

• 4 cos (10x - 15) cos (4x - 6) = 2 cos (10x - 15 + 4x - 6) + 2 cos [10x - 15 - (4x - 6)] = 2 cos (14x - 21) - 2 cos (6x - 9)

Diperoleh:

$\displaystyle \frac{d}{dx}uv=u'v+uv'\\=-10\sin(10x-15)\sin(4x-6)+4\cos(10x-15)\cos(4x-6)\\=5\cos(14x-21)-5\cos(6x-9)+2\cos(14x-21)+2\cos(6x-9)\\=7\cos(14x-21)-3\cos(6x-9)$

Soal menjadi:

$\displaystyle \lim_{x\to\frac{3}{2}}\frac{a}{7\cos(14x-21)-3\cos(6x-9)}=\frac{3}{2}\\\frac{a}{7\cos0-3\cos0}=\frac{3}{2}\\\frac{a}{7(1)-3(1)}=\frac{3}{2}\\2a=12\\a=6$