Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = x(x-2)² dalam interval -1 ≤ x ≤ 3, kita dapat menggunakan turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Turunan pertama dari f(x) adalah:

f'(x) = 3x² - 8x + 4

Untuk mencari titik kritis (titik di mana turunan pertama sama dengan nol), kita bisa menyelesaikan persamaan f'(x) = 0, sehingga:

3x² - 8x + 4 = 0

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapat menemukan dua akar dari persamaan di atas:

x = (8 ± √16) / 6

x = 2 atau x = 2/3

Kita dapat memeriksa bahwa titik kritis x = 2 merupakan titik maksimum lokal dari f(x), sedangkan titik kritis x = 2/3 merupakan titik minimum lokal dari f(x), dengan menggunakan turunan kedua dari f(x), yang diberikan oleh:

f''(x) = 6x - 8

Dengan memasukkan x = 2 dan x = 2/3 ke dalam turunan kedua, kita dapat memeriksa bahwa f''(2) = 4 > 0, sehingga titik kritis x = 2 merupakan titik maksimum lokal. Sedangkan f''(2/3) = -2 < 0, sehingga titik kritis x = 2/3 merupakan titik minimum lokal.

Maka, nilai maksimum dari f(x) adalah f(2) = 4, dan nilai minimum dari f(x) adalah f(2/3) = 4/27.

Dalam interval -1 ≤ x ≤ 3, nilai p adalah f(-1) = 0, dan nilai q adalah f(3) = 27. Sehingga, hasilnya dapat ditulis dalam bentuk:

0 ≤ f(x) ≤ 27 untuk -1 ≤ x ≤ 3.