Nilai maksimum dari fungsi f(x, y) = 3x + 4yyang memenuhisistem pertidaksamaan linear { x + 3y ≤ 6; 3x + y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 } adalah 13.
 

Penjelasan

Fungsi Obyektif dengan Kendala/Batasan

Nilai maksimum atau minimum dari fungsi obyektif f(x, y) yang memenuhi kendala/batasan yang didefinisikan oleh suatu sistem pertidaksamaan linear, terletak pada “titik pojok” daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut. Titik-titik pojok tersebut merupakan titik perpotongan dari garis lurus yang membatasi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.

Diketahui

• Fungsi obyektif:
  f(x, y) = 3x + 4y
• Kendala (Sistem Pertidaksamaan Linear):
  x + 3y ≤ 6; 3x + y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0.

Ditanyakan

• Nilai maksimum f(x, y).

Penyelesaian

Terdapat 4 garis batas untuk kendala, yaitu:

• x + 3y = 6   ...(i)
• 3x + y = 10   ...(ii)
• x = 0 (sumbu-Y)
• y = 0 (sumbu-X)

Perhatikan bahwa garis (i) memiliki gradien –1/3, sedangkan garis (ii) memiliki gradien –3. Jadi, garis (i) lebih "landai" dari garis (ii), atau sebaliknya, garis (ii) lebih "curam" dari garis (i).

Maka:

• Titik pojok 1 = titik pojok pada sumbu-Y yang merupakan perpotongan dari garis (i) dan sumbu-Y.
• Titik pojok 2 = titik pojok pada sumbu-X yang merupakan perpotongan dari garis (ii) dan sumbu-X.
• Titik pojok 3 = titik pojok yang merupakan perpotongan garis (i) dan (ii).
• Titik pojok 4 = pusat koordinat, yang merupakan perpotongan dari sumbu-X dan sumbu-Y.

Titik pojok 1

• Dari garis x + 3y = 6 dan x = 0:
  0 + 3y = 6
  ⇔ y = 2
  Diperoleh titik: (0, 2).
  Nilai fungsi obyektif:
  f(0, 2) = 3·0+ 4·2 = 8.

Titik pojok 2

• Dari garis 3x + y = 10 dan y = 0:
  3x + 0 = 10
  ⇔ x = 10/3
  Diperoleh titik: (10/3, 0).
  Nilai fungsi obyektif:
  f(10/3, 0) = 3·(10/3) + 4·0 = 10.

Titik pojok 3

• Dari garis x + 3y = 6 dan 3x + y = 10:
  x + 3y = 6  ⇔ x = 6 – 3y
  Substitusikan ke garis (ii).
  3x + y = 10
  ⇔ 3(6 – 3y) + y = 10
  ⇔ 18 – 9y + y = 10
  ⇔ 18 – 8y = 10
  ⇔ 8y = 8
  ⇔ y = 1
  Substitusikan nilai y ke garis (i).
  x + 3y = 6
  ⇔ x + 3·1 = 6
  ⇔ x = 3
  Diperoleh titik: (3, 1).
  Nilai fungsi obyektif:
  f(3, 1) = 3·3+ 4·1 = 13.

Titik pojok 4 (0, 0)

• Nilai fungsi obyektif:
  f(0, 0) = 0.

Dengan demikian, dari f(0, 2) = 8, f(10/3, 0) = 10, f(3, 1) = 13, dan f(0, 0) = 0, dapat disimpulkan bahwa:
Nilai maksimum f(x, y) = 3x + 4y adalah 13.