1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Nilai dari [tex]\displaystyle\int\limits_{-2}^{2} \left(x^3\cos(\frac{x}{2})+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2} \, \mathrm dx [/tex] adalah...(a) [tex]\pi[/tex](b)

Berikut ini adalah pertanyaan dari arthurkangdani pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai dari \displaystyle\int\limits_{-2}^{2} \left(x^3\cos(\frac{x}{2})+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2} \, \mathrm dx adalah...(a) \pi

(b) \frac{\pi}{2}

(c) \frac{\pi}{4}

(b) \frac{\pi}{8}

(b) \infty

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari \displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]\sqrt{4-x^2}} \, dx }adalah(a) π.

PEMBAHASAN

Integral merupakan operasi yang menjadi kebalikan dari operasi turunan/diferensial. Sehingga integral sering juga disebut sebagai antiturunan.

\displaystyle{f(x)=\int\limits {\left [ \frac{df(x)}{dx} \right ]} \, dx}

Untuk integral fungsi genap dimana f(-x) = f(x) dan fungsi ganjil dimana f(-x) = -f(x), memiliki nilai khusus, yaitu :

\displaystyle{(i)~Untuk~f(x)=fungsi~ganjil~\to~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=0 }

\displaystyle{(i)~Untuk~f(x)=fungsi~genap~\to~\int\limits^a_{-a} {f(x)} \, dx=2\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx }

.

DIKETAHUI

\displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]\sqrt{4-x^2}} \, dx= }

.

DITANYA

Tentukan nilainya.

.

PENYELESAIAN

\displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]\sqrt{4-x^2}} \, dx }

\displaystyle{=\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} \right ]} \, dx }

\displaystyle{=\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{4-x^2} \right ]} \, dx+\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx }

----------------

Cek apakah fungsi termasuk fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya.

\displaystyle{f(x)=x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{4-x^2} }

\displaystyle{f(-x)=(-x)^3cos\left [ \frac{(-x)}{2} \right ]\sqrt{4-(-x)^2} }

\displaystyle{f(-x)=-x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{4-x^2} }

\displaystyle{f(-x)=-f(x)}

Karena termasuk fungsi ganjil, maka :

\displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{4-x^2} \right ]} \, dx=0 }

.

\displaystyle{f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} }

\displaystyle{f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-(-x)^2} }

\displaystyle{f(-x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} }

\displaystyle{f(-x)=f(x)}

Karena termasuk fungsi genap, maka :

\displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx=2\int\limits^2_0 {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx }

----------------

\displaystyle{=0+2\int\limits^2_0 {\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}} \, dx }

\displaystyle{=\int\limits^2_0 {\sqrt{4-x^2}} \, dx }

----------------

Misal :

\displaystyle{sin\theta=\frac{x}{2} }

\displaystyle{2sin\theta=x }

\displaystyle{2cos\theta d\theta=dx }

.

\displaystyle{Untuk~x=0~\to~sin\theta=\frac{0}{2}~\to~\theta=0}

\displaystyle{Untuk~x=2~\to~sin\theta=\frac{2}{2}~\to~\theta=\frac{\pi}{2}}

----------------

\displaystyle{=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\sqrt{4-(2sin\theta)^2}} \, (2cos\theta d\theta) }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {cos\theta\sqrt{4-4sin^2\theta}} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {cos\theta\sqrt{4(1-sin^2\theta)}} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {cos\theta\sqrt{4cos^2\theta}} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {cos\theta(2cos\theta)} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {2cos^2\theta} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {2\left ( \frac{1+cos2\theta}{2} \right )} \, d\theta }

\displaystyle{=2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\left ( 1+cos2\theta \right )} \, d\theta }

\displaystyle{=2\left ( \theta+\frac{1}{2}sin2\theta \right )\Bigr|^{\frac{\pi}{2}}_0 }

\displaystyle{=\left ( 2\theta+sin2\theta \right )\Bigr|^{\frac{\pi}{2}}_0 }

\displaystyle{=\left [ 2\left ( \frac{\pi}{2} \right )+sin\left ( 2\times\frac{\pi}{2} \right )-2\left ( 0 \right )+sin\left ( 2\times0 \right ) \right ] }

\displaystyle{=\left [ \pi+sin\left ( 0 \right )-0+sin\left ( 0 \right ) \right ] }

=\pi

.

KESIMPULAN

Nilai dari \displaystyle{\int\limits^2_{-2} {\left [ x^3cos\left ( \frac{x}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]\sqrt{4-x^2}} \, dx }adalah(a) π.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/40327197
  2. Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30251199
  3. Integral substitusi trigonometri : yomemimo.com/tugas/30205263

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Integral

Kode Kategorisasi: 11.2.10

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 31 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>