Nilai k untuk persamaan berkas lingkaran (1 + k)x² +

Berikut ini adalah pertanyaan dari selena2702 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai k untuk persamaan berkas lingkaran (1 + k)x² + (1 + k)y2-(1+5k)x + (7-k)y + k − 3 = 0 yang mempunyai jari-jari 10 adalah....

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai k yang memenuhi adalah $\displaystyle{\boldsymbol{a.~~\frac{-199+2\sqrt{1915}}{189}~dan~\frac{-199-2\sqrt{1915}}{189}}}$ .

PEMBAHASAN

Persamaan lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Dalam hal ini titik tersebut adalah titik pusat lingkaran. Bentuk umum dari persamaan lingkaran adalah :

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Dengan :

Titik pusat $\displaystyle{(a,b)=\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}$

Jari jari $\displaystyle{r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}}$

DIKETAHUI

Persamaan lingkaran $(1+k)x^2+(1+k)y^2-(1+5k)x+(7-k)y+k-3=0$

Jari jari lingkaran r = 10.

DITANYA

Tentukan nilai k yang memenuhi.

PENYELESAIAN

$(1+k)x^2+(1+k)y^2-(1+5k)x+(7-k)y+k-3=0~~~...kedua~ruas~dibagi~(1+k)$

$\displaystyle{x^2+y^2-\left ( \frac{1+5k}{1+k} \right )x+\left ( \frac{7-k}{1+k} \right )y+\left ( \frac{k-3}{1+k} \right )=0 \left\{\begin{matrix}A=-\left ( \frac{1+5k}{1+k} \right )\\ \\B=\frac{7-k}{1+k}~~~~~~~\\ \\C=\frac{k-3}{1+k}~~~~~~~\end{matrix}\right. }$

Jari jari lingkaran :

$r=10$

$\displaystyle{10=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}}$

$\displaystyle{100=\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

$\displaystyle{100=\frac{1}{4}\left [ -\left ( \frac{1+5k}{1+k} \right ) \right ]^2+\frac{1}{4}\left ( \frac{7-k}{1+k} \right )^2-\frac{k-3}{1+k}~~~...kedua~ruas~dikali~4(1+k)^2}$