Untuk menjawab pertanyaan a dan b, kita perlu melakukan analisis terhadap fungsi kepuasan total (TU) dan fungsi permintaan (P).

a. Untuk mencari jumlah sepatu X yang akan memberikan kepuasan total maksimum, kita perlu mencari nilai Q yang menghasilkan nilai maksimum pada fungsi TU. Dalam hal ini, kita akan mencari nilai Q ketika derivatif pertama fungsi TU sama dengan nol.

Langkah-langkah:

Turunkan fungsi TU terhadap Q.

dTU/dQ = 2(4Q² + 20) + (2Q-4)(8Q)

= 8Q² + 40 + 16Q² - 32Q

= 24Q² - 32Q + 40

Setel derivatif pertama sama dengan nol dan cari nilai-nilai Q yang memenuhi.

24Q² - 32Q + 40 = 0

Karena kita memiliki persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikannya.

Q = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

a = 24, b = -32, c = 40

Q = (-(-32) ± √((-32)² - 4(24)(40))) / (2(24))

= (32 ± √(1024 - 3840)) / 48

= (32 ± √(-2816)) / 48

Karena terdapat akar kuadrat dari bilangan negatif, maka tidak ada solusi yang real untuk nilai Q yang memaksimalkan kepuasan total. Oleh karena itu, tidak ada jumlah sepatu X yang akan memberikan kepuasan total maksimum berdasarkan fungsi TU yang diberikan.

b. Jika konsumen tersebut membeli 7 pasang sepatu X, kita akan mencari harga per pasang yang akan memberikan kepuasan total maksimum. Untuk itu, kita perlu mencari harga (P) yang memaksimalkan fungsi kepuasan total (TU) dengan mengubah harga dalam fungsi permintaan.

Langkah-langkah:

Gantikan nilai Q dengan 7 pada fungsi permintaan.

P = 40 + 8Q

= 40 + 8(7)

= 40 + 56

= 96

Kita akan mencari harga yang memaksimalkan fungsi TU.

Turunkan fungsi TU terhadap P.

dTU/dP = dTU/dQ * dQ/dP

dTU/dQ = 24Q² - 32Q + 40 (dari langkah sebelumnya)

dQ/dP = 1 / (8 * dP/dQ)

dP/dQ = 8 (dari fungsi permintaan)

dQ/dP = 1 / (8 * 8)

= 1/64

dTU/dP = (24Q² - 32Q + 40) * (1/64)

Setel turunan pertama fungsi TU terhadap P sama dengan nol dan cari nilai-nilai P yang memenuhi.

(24Q² - 32Q + 40) * (1/64) = 0

Karena tidak ada nilai Q yang memberikan kepuasan total maksimum (seperti yang dijelaskan pada pertanyaan a), maka tidak ada harga per pasang sepatu yang akan memberikan kepuasan total maksimum dalam kasus ini.

Untuk pertanyaan terakhir tentang elastisitas permintaan, kita akan menggunakan rumus elastisitas permintaan:

E = (dQ/dP) * (P/Q)

Dalam hal ini, P = Rp592 ribu, dan kita akan mencari nilai elastisitas permintaan saat P = Rp592 ribu.

Langkah-langkah:

Gantikan nilai P dan Q pada fungsi permintaan.

P = 40 + 8Q

592 = 40 + 8Q

8Q = 552

Q = 552/8

= 69

Hitung derivatif pertama fungsi permintaan terhadap P.

dQ/dP = 1 / (8 * dP/dQ)

dP/dQ = 8 (dari fungsi permintaan)

dQ/dP = 1 / (8 * 8)

= 1/64

Hitung elastisitas permintaan saat P = Rp592 ribu.

E = (dQ/dP) * (P/Q)

= (1/64) * (592/69)

Menghitung nilai numeriknya akan memberikan nilai elastisitas permintaan pada harga Rp592 ribu.