Jawaban:

Untuk membuktikan bahwa cos 3z = cos 3x cosh 3y - i sin 3x sinh 3y, pertama-tama kita perlu mengingat bahwa z = x + yi dapat dituliskan dalam bentuk polar sebagai rho (cos theta + i sin theta), di mana rho adalah jarak dari titik (x,y) ke titik (0,0) dan theta adalah sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik (0,0) dengan titik (x,y).

Kemudian, kita dapat menggunakan rumus Euler untuk menuliskan cos z dan sin z dalam bentuk polar:

cos z = cos rho cos theta - i sin rho sin theta

sin z = sin rho cos theta + i cos rho sin theta

Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat membuktikan bahwa cos 3z = cos 3x cosh 3y - i sin 3x sinh 3y dengan cara menuliskan cos 3z dan sin 3z dalam bentuk polar dan menggunakan rumus Euler.

Pertama, kita dapat menuliskan cos 3z dalam bentuk polar:

cos 3z = cos (3rho) (cos 3theta - i sin 3theta)

= cos (3rho) cos 3theta - i cos (3rho) sin 3theta

Kemudian, kita dapat menuliskan sin 3z dalam bentuk polar:

sin 3z = sin (3rho) (cos 3theta + i sin 3theta)

= sin (3rho) cos 3theta + i sin (3rho) sin 3theta

Kemudian, kita dapat menggunakan rumus Euler untuk menuliskan cos 3x dan sin 3x dalam bentuk polar:

cos 3x = cos (3rho) cos 3theta

sin 3x = sin (3rho) cos 3theta

Dan kita dapat menggunakan rumus Euler untuk menuliskan cosh 3y dan sinh 3y dalam bentuk polar:

cosh 3y = cos (3rho)

sinh 3y = i sin (3rho)

Dengan menggabungkan semua ini, kita dapat membuktikan bahwa cos 3z = cos 3x cosh 3y - i sin 3x sinh 3y.

Bukti:

cos 3z = cos (3rho) cos 3theta - i cos (3rho) sin 3theta

= (cos (3rho) cos 3theta) - (i cos (3rho) sin 3theta)

= cos 3x cosh 3y - i sin 3x sinh 3y

Jadi, kita telah membuktikan bahwa cos 3z = cos 3x cosh 3y - i sin 3x sinh 3y.