Jawab:

a. Untuk menunjukkan T sebagai pemetaan linear, perlu dibuktikan bahwa T memenuhi dua sifat pemetaan linear, yaitu:

1. T(x + y) = T(x) + T(y)

2. T(kx) = kT(x)

Misalkan T : P₁ → R³ dengan T(C₁ + C₂t) = (C₂, C₁, C₁ - C₂).

1. Untuk sifat 1, misalkan x = C₁ + C₂t dan y = D₁ + D₂t. Maka,

  T(x + y) = T(C₁ + C₂t + D₁ + D₂t)

           = T((C₁ + D₁) + (C₂ + D₂)t)

           = (C₂ + D₂, C₁ + D₁, C₁ + D₁ - C₂ - D₂)

           = (C₂, C₁, C₁ - C₂) + (D₂, D₁, D₁ - D₂)

           = T(C₁ + C₂t) + T(D₁ + D₂t)

           = T(x) + T(y)

  Sehingga sifat 1 terpenuhi.

2. Untuk sifat 2, misalkan k adalah suatu bilangan skalar dan x = C₁ + C₂t. Maka,

  T(kx) = T(k(C₁ + C₂t))

        = T(kC₁ + kC₂t)

        = (kC₂, kC₁, kC₁ - kC₂)

        = k(C₂, C₁, C₁ - C₂)

        = kT(C₁ + C₂t)

        = kT(x)

  Sehingga sifat 2 terpenuhi.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa T adalah pemetaan linear.

b. Inti dari pemetaan linear T adalah himpunan semua vektor x pada P₁ sehingga T(x) = 0. Dalam hal ini, T(C₁ + C₂t) = (C₂, C₁, C₁ - C₂), sehingga untuk mencari inti dari T dapat dicari vektor-vektor pada P₁ yang memenuhi persamaan (C₂, C₁, C₁ - C₂) = (0, 0, 0). Oleh karena itu, inti dari T adalah himpunan semua vektor C₁ + C₂t di P₁, di mana C₁ dan C₂ adalah bilangan real yang memenuhi C₁ - C₂ = 0 atau C₁ = C₂.

c. Untuk memeriksa apakah T pemetaan satu-satu atau tidak, perlu dicari apakah terdapat dua vektor yang berbeda pada domain P₁ namun memiliki hasil pemetaan yang sama pada range R³. Misalkan x₁ = C₁₁ + C₂₁t dan x₂ = C₁₂ + C₂₂t adalah dua vektor pada P₁ yang berbeda, namun memiliki hasil pemetaan yang sama, yaitu T(x₁) = T(x₂). Maka,

  T(x₁) = T(x₂)

  (C₂₁, C₁₁, C₁₁ - C₂₁) = (C₂₂, C₁₂, C₁₂ - C₂₂)

  Dari sini, dapat diperoleh sistem persamaan linear sebagai berikut:

  C₂₁ = C₂₂

  C₁₁ = C₁₂

  C₁₁ - C₂₁ = C₁₂ - C₂₂

  Dari persamaan ketiga, dapat diperoleh C₁₁ - C₂₁ = C₁₂ - C₂₂, sehingga C₁₁ = C₂₁ dan C₁₂ = C₂₂. Oleh karena itu, x₁ = x₂ dan T merupakan pemetaan satu-satu.

Penjelasan dengan langkah-langkah: