Jika fungsi f(x) = ax² – 2x + c menyinggung sumbu x di x = ½, maka nilai a – cadalah3/2.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah

Fungsi Kuadrat

CARA 1
Susun Fungsi Kuadrat

Jika fungsi kuadrat f(x) menyinggung sumbu-X di x = α yang juga berarti persamaan f(x) = 0 memiliki akar kembar, maka f(x) dapat dinyatakan oleh:
f(x) = k(x – α)²
dengan k menyatakan faktor skala grafik f(x).

Kita substitusi α dengan ½.
f(x) = k(x – ½)²
Jabarkan.
⇒ f(x) = k(x² – x + ¼)
⇒ f(x) = kx² – kx + ¼·k
Karena f(x) = ax² – 2x + c:
⇒ ax² – 2x + c = kx² – kx + ¼·k

Memperhatikan kesamaan letak variabel, diperoleh:

• k = 2
• a = k = 2
• c = ¼·k = ¼·2 = ½

Fungsi kuadrat tersebut adalah:
f(x) = 2x² – 2x + ½.

∴ Dengan demikian, nilai a – c adalah 2 – ½ = 3/2.

CARA 2
Substitusi dan Diskriminan

Pada saat grafik fungsi f(x) (tidak terbatas pada fungsi kuadrat) menyinggung atau memotong sumbu-X di x = α, nilai f(x) = 0.

Substitusi f(x) ← 0 dan x ← ½.
0 = a(½)² – 2·½ + c
⇒ 0 = (¼)a – 1 + c
⇒ c = 1 – (¼)a   ...(i)
Kedua ruas dikalikan 4.
⇒ 4c = 4 – a   ...(ii)

Jika fungsi kuadrat f(x) menyinggung sumbu-X, maka akar-akarnya kembar. Nilai diskriminan f(x) sama dengan 0.

D = b² – 4ac = 0
⇒ (–2)² – 4ac = 0
⇒ 4 – 4ac = 0
⇒ 4ac – 4 = 0
⇒ a·4c – 4 = 0
Subtitusi nilai 4c dari pers. (ii).
⇒ a·(4 – a) – 4 = 0
⇒ 4a – a² – 4 = 0
⇒ a² – 4a + 4 = 0
⇒ (a – 2)² = 0
⇒ a – 2 = 0
⇒ a = 2

Dari pers. (i):
c = 1 – (¼)a
⇒ a – c = a – [1 – (¼)a]
⇒ a – c = a + (¼)a – 1
⇒ a – c = (5/4)a – 1
Substitusi nilai a pada ruas kanan.
⇒ a – c = (5/4)(2) – 1
⇒ a – c = 5/2 – 1
⇒ a – c = 3/2

∴ Dengan demikian, nilai a – cadalah3/2.