Jawaban dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui rata-rata nilai siswa dalam suatu mata pelajaran adalah 540 dengan simpangan baku 50. Dalam menghitung peluang, kita dapat menggunakan distribusi normal baku.

a. Untuk mencari peluang bahwa dua kelompok mahasiswa yang diambil secara acak memiliki perbedaan rata-rata lebih dari 20, kita perlu menghitung z-score dari selisih rata-rata kelompok tersebut. Formula z-score adalah:

z = (x - μ) / (σ / sqrt(n))

Di mana x adalah nilai yang ingin kita hitung (yaitu selisih rata-rata antara dua kelompok mahasiswa), μ adalah rata-rata populasi (yaitu 540), σ adalah simpangan baku (yaitu 50), dan n adalah ukuran sampel (yaitu 32 atau 50, tergantung pada kelompok mana yang lebih kecil).

Untuk kelompok pertama yang terdiri dari 32 mahasiswa, z-score dapat dihitung sebagai berikut:

z = (x - μ) / (σ / sqrt(n))

z = (x - 540) / (50 / sqrt(32))

z = (x - 540) / 8.839

Untuk kelompok kedua yang terdiri dari 50 mahasiswa, z-score dapat dihitung sebagai berikut:

z = (x - μ) / (σ / sqrt(n))

z = (x - 540) / (50 / sqrt(50))

z = (x - 540) / 7.071

Untuk mencari peluang perbedaan rata-rata lebih dari 20, kita perlu mencari peluang ketika z-score lebih besar dari 20/8.839 atau 20/7.071, tergantung pada ukuran sampel yang lebih kecil. Dalam tabel distribusi normal baku, peluang ini sangat kecil sehingga dapat dianggap hampir tidak mungkin terjadi.

b. Untuk mencari peluang bahwa dua kelompok mahasiswa yang diambil secara acak memiliki perbedaan rata-rata antara 5 dan 10, kita perlu menghitung z-score untuk kedua nilai tersebut dan menghitung selisih antara kedua z-score tersebut. Z-score untuk nilai 5 dan 10 adalah:

z1 = (5 - 540) / (50 / sqrt(32)) = -4.508

z2 = (10 - 540) / (50 / sqrt(32)) = -3.785

Selisih antara kedua z-score tersebut adalah 0.723. Dalam tabel distribusi normal baku, peluang untuk z-score lebih kecil dari -0.723 adalah sekitar 0.235. Namun, kita ingin mencari peluang untuk z-score lebih besar dari 0.723, sehingga kita perlu mengambil peluang komplementer yaitu 1 - 0.235 = 0.765 atau sekitar 76.5%. Oleh karena itu, peluang dua kelompok mahasiswa yang diambil secara acak memiliki perbedaan rata-rata antara 5 dan 10 adalah sekitar 76.5%.