QUIZMateri: PGL, Sistem Koordinat, TrigonometriGaris lurus [tex]g[/tex] melalui titik [tex]A[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari DucInAltum pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QUIZMateri: PGL, Sistem Koordinat, Trigonometri

Garis lurus $g$ melalui titik $A$ dan $B$ . Dalam sistem koordinat kutub, kedua titik tersebut dinyatakan dengan $A(p,\, \alpha)$ dan $B(p,\, \beta)$ , di mana $p$ adalah sebuah konstanta bilangan real, dan $\alpha+\beta=90^\circ$ .

Jika garis $g$ tegak lurus terhadap garis $h$ yang melalui titik pusat sistem koordinat, tentukanlah persamaan garis lurus $h$ tersebut!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis h adalah y = x.

PEMBAHASAN

Koordinat polar adalah sistem koordinat dimana posisi suatu titik ditentukan oleh jarak dan besar sudut dari titik acuan. Penulisan pada koordinat polar adalah (r,θ), dengan :

r = jarak dari titik acuan

θ = besar sudut dari titik acuan

Untuk mengubah koordinat kartesius (x,y) ke koordinat polar (r,θ) :

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\displaystyle{tan\theta=\frac{y}{x}}$

Jika x positif dan y positif → berada di kuadran I.

Jika x negatif dan y positif → berada di kuadran II.

Jika x negatif dan y negatif → berada di kuadran III.

Jika x positif dan y negatif → berada di kuadran IV.

Untuk mengubah koordinat polar (r,θ) ke koordinat kartesius (x,y) :

$x=rcos\theta$

$y=rsin\theta$

DIKETAHUI

Garis g melalui titik A dan B

A(p, α)

B(p, β)

α+β = 90⁰

DITANYA

Tentukan persamaan garis h yang tegak lurus garis g dan melalui titik pusat koordinat.

PENYELESAIAN

> Rubah titik A dan B ke koordinat kartesius.

$A(p,\alpha )\left\{\begin{matrix}x=pcos\alpha\\ \\y=psin\alpha\end{matrix}\right.\rightarrow A(pcos\alpha,~psin\alpha)$

$B(p,\beta )\left\{\begin{matrix}x=pcos\beta\\ \\y=psin\beta\end{matrix}\right.\rightarrow B(pcos\beta,~psin\beta)$

$\displaystyle{m_g=\frac{\Delta y}{\Delta x}}$

$\displaystyle{m_g=\frac{psin\beta-psin\alpha}{pcos\beta-pcos\alpha} }$

$\displaystyle{m_g=\frac{p(sin\beta-sin\alpha)}{p(cos\beta-cos\alpha)} }$

$\displaystyle{m_g=\frac{sin\beta-sin\alpha}{cos\beta-cos\alpha} }$

$\displaystyle{m_g=\frac{2cos\left ( \frac{\beta+\alpha}{2} \right )sin\left ( \frac{\beta-\alpha}{2} \right )}{-2sin\left ( \frac{\beta+\alpha}{2} \right )sin\left ( \frac{\beta-\alpha}{2} \right )} }$