Jawab:

a. Diketahui bahwa pohon tumbuh dengan cepat pada awalnya dan kemudian tumbuh perlahan. Kita dapat memodelkan pertumbuhan ketinggian pohon dengan fungsi eksponensial yang dikombinasikan dengan fungsi linier. Misalnya, kita dapat menggunakan model:

h(t) = a(1 - e^(-bt)) + c

dengan:

a = ketinggian maksimum yang dicapai pohon (dalam meter)

b = koefisien pertumbuhan yang mengendalikan kecepatan pertumbuhan pohon

c = ketinggian awal pohon saat ditanam (dalam meter)

t = umur pohon (dalam tahun)

Dalam kasus ini, kita diketahui bahwa ketinggian pohon saat berumur 2 tahun adalah 2 m, dan ketinggian maksimum yang dicapai pohon adalah 3 m. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan persamaan:

2 = a(1 - e^(-2b)) + c

3 = a(1 - e^(-bt)) + c

Dengan menggabungkan persamaan-persamaan tersebut, kita dapat menghilangkan variabel c dan mendapatkan:

a = 1 / (1 - e^(-b))

b = -ln(2/3) / 2

Substitusi nilai b ke persamaan untuk a memberikan:

a = 3 / (1 - e^(ln(2/3)))

a = 9

Sehingga model pertumbuhan ketinggian pohon adalah:

h(t) = 9(1 - e^(-0,346t))

b. Untuk mencari fungsi invers dari h umur pohon, kita perlu menyelesaikan persamaan:

h(t) = 2,5

2,5 = 9(1 - e^(-0,346t))

e^(-0,346t) = 0,722222...

-0,346t = ln(0,722222...)

t = -ln(0,722222...) / -0,346

t = 3,14

Oleh karena itu, umur pohon saat ketinggian 2,5 m adalah 3,14 tahun. Fungsi invers dari h umur pohon adalah:

t(h) = -ln(1 - h/9) / 0,346

Sehingga untuk h = 2,5 m, kita dapat menghitung umur pohon dengan substitusi nilai:

t(2,5) = -ln(1 - 2,5/9) / 0,346

t(2,5) ≈ 3,14 tahun

Penjelasan dengan langkah-langkah: