1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui luas lingkaran hijau 4π dan merah 25π. Tentukan panjang

Berikut ini adalah pertanyaan dari peesbedrf pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui luas lingkaran hijau 4π dan merah 25π. Tentukan panjang jari-jari lingkaran biru!
Diketahui luas lingkaran hijau 4π dan merah 25π. Tentukan panjang jari-jari lingkaran biru!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Panjang jari-jari lingkaran biru = 8/3 satuan.
 

Penjelasan

Diketahui

  • (i) Luas lingkaran hijau = 4π.
  • (ii) Luas lingkaran merah = 25π.
  • (iii) Lingkaran biru berhimpit dengan lingkaran hijau, dan lingkaran hijau berhimpit dengan lingkaran merah, dengan lingkaran hijau di tengah-tengah ketiga lingkaran.
  • (iv) 2 buah garis singgung persekutuan luar lingkaran hijau dan merah berpotongan pada titik pusat lingkaran biru.

Ditanyakan

  • Panjang jari-jari lingkaran biru.

Penyelesaian

Misalkan:

  • B, H, dan Mberturut-turut adalahtitik pusat lingkaran biru, hijau, dan merah.
  • Padalahtitik singgung pada lingkaran merah, yang dilalui oleh salah satu garis singgung persekutuan luar lingkaran hijau dan merah.
  • Qadalahtitik singgung pada lingkaran hijau, yang dilalui oleh salah satu garis singgung persekutuan luar lingkaran hijau dan merah.

Karena poin (iii) dan (iv) dari yang diketahui, maka titik B, H, dan M terletak pada satu garis lurus, dan garis lurus tersebut adalah “sumbu simetri” bagi kedua garis singgung persekutuan lingkaran.

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran dari titik singgungnya.

Maka:

  • ΔMPB siku-siku di P, ΔHQB siku-siku di Q.
  • ΔMPB sebangun dengan ΔHQB.

Panjang ruas garis HQ (jari-jari lingkaran hijau):

\begin{aligned}\pi\left|\overline{HQ}\right|^2&=\textsf{Luas lingkaran hijau}\\\cancel{\pi}\left|\overline{HQ}\right|^2&=4\cancel{\pi}\\\left|\overline{HQ}\right|&=\sqrt{4}=\bf2\ satuan.\end{aligned}

Panjang ruas garis MP (jari-jari lingkaran merah):

\begin{aligned}\pi\left|\overline{MP}\right|^2&=\textsf{Luas lingkaran merah}\\\cancel{\pi}\left|\overline{MP}\right|^2&=25\cancel{\pi}\\\left|\overline{MP}\right|&=\sqrt{25}=\bf5\ satuan.\end{aligned}

Maka, dari kesebangunan ΔMPB dan ΔHQB:

\begin{aligned}\frac{\left|\overline{MP}\right|}{\left|\overline{HQ}\right|}&=\frac{\left|\overline{MB}\right|}{\left|\overline{HB}\right|}\\\frac{5}{2}&=\frac{\left|\overline{HB}\right|+\left|\overline{HM}\right|}{\left|\overline{HB}\right|}\\1+\frac{3}{2}&=1+\frac{\left|\overline{HM}\right|}{\left|\overline{HB}\right|}\\\frac{3}{2}&=\frac{\left|\overline{HM}\right|}{\left|\overline{HB}\right|}\\\frac{3}{2}&=\frac{r_{\sf hijau}+r_{\sf merah}}{r_{\sf hijau}+r_{\sf biru}}\end{aligned}

\begin{aligned}3r_{\sf hijau}+3r_{\sf biru}&=2r_{\sf hijau}+2r_{\sf merah}\\3r_{\sf biru}&=2r_{\sf hijau}+2r_{\sf merah}-3r_{\sf hijau}\\3r_{\sf biru}&=2r_{\sf merah}-r_{\sf hijau}\\r_{\sf biru}&=\frac{2r_{\sf merah}-r_{\sf hijau}}{3}\\&=\frac{2\cdot5-2}{3}\\\therefore\ r_{\sf biru}&=\boxed{\,\bf\frac{8}{3}\,}\ \ \rm satuan\end{aligned}

∴ Jadi, panjang jari-jari lingkaran biru = 8/3 satuan.
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 18 May 23
<< Previous Post
Next Post >>