Jawab:

Nilai ekstrim fungsi z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x² + y² = 8 adalah 8 dan -8. Jenis titik ekstrim yang terdapat pada fungsi tersebut adalah titik maksimum dan titik minimum.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk mencari titik ekstrim dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x² + y² = 8, kita dapat menggunakan metode subtitusi atau metode Lagrange.

Metode subtitusi:

• Substitusikan x² + y² = 8 ke dalam fungsi z = 2x + 2y untuk mendapatkan fungsi baru yang hanya tergantung pada x saja, yaitu z = 2x + 2√(8-x²).
• Kemudian, tentukan nilai x yang meminimalkan atau maksimalkan fungsi z tersebut. Untuk mencari nilai ekstrim fungsi, kita dapat menggunakan turunan pertama atau kriteria-kriteria nilai ekstrim.
• Nilai ekstrim fungsi tersebut adalah titik ekstrim dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x² + y² = 8.

Metode Lagrange:

• Buat fungsi baru L(x,y) = z - λ(x² + y² - 8), dimana λ adalah variabel langkah.
• Kemudian, tentukan turunan pertama L(x,y) terhadap x dan y, yaitu ∂L/∂x = 2x - 2λx dan ∂L/∂y = 2y - 2λy.
• Setelah itu, persamaan ∂L/∂x = 0 dan ∂L/∂y = 0 harus dipenuhi pada saat bersamaan, yaitu 2x - 2λx = 0 dan 2y - 2λy = 0.
• Dengan demikian, x = λ dan y = λ. Substitusikan nilai x dan y tersebut ke dalam kendala x² + y² = 8 untuk mendapatkan λ² = 8, sehingga λ = 2 atau λ = -2.
• Substitusikan nilai λ tersebut ke dalam x = λ dan y = λ untuk mendapatkan nilai x dan y, yaitu x = 2 atau x = -2 dan y = 2 atau y = -2.
• Tentukan nilai z pada setiap titik (x,y) tersebut dengan menggunakan fungsi z = 2x + 2y, yaitu z = 2(2) + 2(2) = 8 atau z = 2(-2) + 2(-2) = -8.
• Nilai ekstrim fungsi z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x² + y² = 8 adalah 8 dan -8.

enis titik ekstrim yang terdapat pada fungsi z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x² + y² = 8 adalah titik maksimum dan titik minimum. Nilai ekstrim fungsi tersebut adalah 8 dan -8, yang diperoleh dengan menggunakan metode subtitusi atau metode Lagrange.