Jawaban:

1.Jadi, nilai ab adalah -18.

2.Jadi, nilai a + b adalah 5 - $\frac{20\sqrt{2}}{11} = \frac{55\sqrt{2}-20\sqrt{2}}{11} = \frac{35\sqrt{2}}{11}$.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

1)Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi, di mana kita faktorkan pembilang fungsi rasional menjadi bentuk (x - 2)(x + c), di mana c adalah suatu konstanta yang akan ditentukan. Kemudian kita dapat menyamakan fungsi rasional asli dengan faktorisasi yang kita dapatkan dan menyelesaikan untuk nilai a dan b.

Pertama-tama, faktorkan pembilang menjadi bentuk (x - 2)(x + c):

(x^2 + ax + b) = (x - 2)(x + c)

Dengan mengalikan faktor kanan dan kiri dengan (x - 2), kita dapat menentukan nilai c:

x^2 + ax + b = (x - 2)(x + c)

x^2 + ax + b = x^2 + (c - 2)x - 2c

ax + b = (c - 2)x - 2c

Kita bisa membentuk dua persamaan dari tiga persamaan di atas dengan menggabungkan koefisien x dan konstanta:

a = c - 2

b = -2c

Substitusikan persamaan yang diperoleh di atas ke dalam fungsi rasional awal dan atur sehingga pembagi menjadi (x - 2):

\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+ax+b }{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+c)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + c) = 2 + c

Karena \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+ax+b }{x-2} = -1, maka kita memiliki:

2 + c = -1

Sehingga nilai c adalah -3. Substitusikan nilai c ke dalam persamaan untuk b untuk mendapatkan:

b = -2c = 6

2)Pertama-tama, kita dapat menyederhanakan fungsi rasional dengan membagi setiap istilah di pembilang dan penyebut oleh akar kuadrat terdekat dari suku itu, yaitu akar kuadrat dari 2x + 8:

\lim_{x \to 4} \frac{x-\sqrt{2x+8}}{2x^{2} - ax - b} = \lim_{x \to 4} \frac{x-\sqrt{2x+8}}{2(x + 2)(x - \frac{b}{2})}

Sekarang, kita dapat menyederhanakan lagi dengan mengalikan dengan konjugat dari pembilang:

\lim_{x \to 4} \frac{x-\sqrt{2x+8}}{2(x + 2)(x - \frac{b}{2})} \cdot \frac{x+\sqrt{2x+8}}{x+\sqrt{2x+8}} = \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - (2x+8)}{2(x + 2)(x - \frac{b}{2})(x+\sqrt{2x+8})}

Sekarang, kita dapat menentukan nilai a dan b dengan menyamakan fungsi rasional dengan faktorisasi polinomial dan membandingkan koefisien:

\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - (2x+8)}{2(x + 2)(x - \frac{b}{2})(x+\sqrt{2x+8})} = \frac{6}{88}

(x^2 - (2x+8)) = A(x + 2)(x - \frac{b}{2})(x+\sqrt{2x+8}) + \frac{6}{11}(x + 2)(x - \frac{b}{2})(x+\sqrt{2x+8})

Kita bisa menentukan nilai A dengan mengganti x dengan -2:

A(-2 + \sqrt{2(-2)+8}) + \frac{6}{11}(-2 + \sqrt{2(-2)+8}) = -10

A = \frac{-5}{2}

Kita bisa membandingkan koefisien x^2 dan x pada kedua sisi persamaan untuk menentukan nilai a dan b:

A = \frac{-5}{2} = \frac{6}{88}\left(\frac{-1}{2}\right)\left(4+\sqrt{16+32}\right) = -\frac{1}{22}\sqrt{2}

a = -2A = 5

b = \frac{2}{A}(2 + \sqrt{2}) = -\frac{20\sqrt{2}}{11}

Jadi, nilai a + b adalah 5 - $\frac{20\sqrt{2}}{11} = \frac{55\sqrt{2}-20\sqrt{2}}{11} = \frac{35\sqrt{2}}{11}$.

Jadi, nilai ab adalah -18.