1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika titik A merupakan titik singgung garis x - 2y

Berikut ini adalah pertanyaan dari endilatasya pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika titik A merupakan titik singgung garis x - 2y = 10 dengan lingkaran L₁ yang berpusat di titik 0(0, 0) dan titik B merupakan titik singgung garis x - 2y = 10 dengan lingkaran L₂ yang berpusat di titik P(11,-7) Tentukan : a. Persamaan lingkaran L₁ dan L2 b. Koordinat titik A dan B c. Tunjukkan secara geometris dalam bidang cartesius​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika titik A merupakan titik singgunggarisx – 2y = 10denganlingkaran L₁ yang berpusat di titik O(0, 0) dan titik B merupakan titik singgung garis x – 2y = 10 dengan lingkaran L₂ yang berpusat di titik P(11, –7).

a. Persamaan lingkaran L₁ dan L₂.

  • L₁ : x² + y² = 20.
  • L₂ : (x – 11)² + (y + 7)² = 45.

b. Koordinat titik A dan B

  • A(2, –4)
  • B(8, –1)

c. Gambar pada bidang Cartesius dapat dilihat pada lampiran.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran

a. Persamaan lingkaran L₁ dan L₂

Lingkaran L₁ yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki bentuk umum:
x² + y² = r²

Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dari jarak garis singgung ax + by + c = 0 dengan titik pusat lingkaran, yaitu:

\begin{aligned}r&=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{aligned}
dengan x dan y merupakan absis dan ordinat titik pusat.

Dari garis singgung x – 2y = 10 atau x – 2y – 10 = 0 yang menyinggung kedua lingkaran, diperoleh:
a = 1, b = –2, c = –10.

Karena berpusat di O(0, 0), maka ax + by + c = c, sehingga:

\begin{aligned}r&=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\r^2&=\frac{c^2}{a^2+b^2}\\&=\frac{(-10)^2}{1^2+(-2)^2}\\&=\frac{100}{5}\\r^2&=\bf20\end{aligned}

Maka, persamaan lingkaran L₁ adalah:
x² + y² = 20.

Kemudian, lingkaran L₂ yang berpusat di titik P(11, –7) memiliki bentuk umum:
(x – 11)² + (y + 7)² = r²

Karena berpusat di P(11, –7):

\begin{aligned}r&=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\r^2&=\frac{\left(ax+by+c\right)^2}{a^2+b^2}\\&=\frac{\left(11-2(-7)-10\right)^2}{1^2+(-2)^2}\\&=\frac{15^2}{5}=15\cdot3\\r&=\bf45\end{aligned}

Maka, persamaan lingkaran L₁ adalah:
(x – 11)² + (y + 7)² = 45.
_______________

b. Koordinat titik A dan B

Dari garis singgung x – 2y = 10:
⇒ x = 2y + 10

Maka, untuk titik A:
x² + y² = 20
⇒ (2y + 10)² + y² – 20 = 0
⇒ 4y² + 40y + 100 + y² – 20 = 0
⇒ 5y² + 40y + 80 = 0
⇒ y² + 8y + 16 = 0
⇒ (y + 4)² = 0
⇒ y + 4 = 0
⇒ y = –4
⇒ x = 2(–4) + 10 = 2
Diperoleh: A(2, –4).

Untuk titik B:
(x – 11)² + (y + 7)² = 45
⇒ (2y + 10 – 11)² + (y + 7)² – 45 = 0
⇒ (2y – 1)² + (y + 7)² – 45 = 0
⇒ 4y² – 4y + 1 + y² + 14y + 49 – 45 = 0
⇒ 5y² + 10y + 5 = 0
⇒ y² + 2y + 1 = 0
⇒ (y + 1)² = 0
⇒ y + 1 = 0
⇒ y = –1
⇒ x = 2(–1) + 10 = 8
Diperoleh: B(8, –1).
\blacksquare

Jika titik A merupakan titik singgung garis x – 2y = 10 dengan lingkaran L₁ yang berpusat di titik O(0, 0) dan titik B merupakan titik singgung garis x – 2y = 10 dengan lingkaran L₂ yang berpusat di titik P(11, –7).a. Persamaan lingkaran L₁ dan L₂.L₁ : x² + y² = 20.L₂ : (x – 11)² + (y + 7)² = 45.b. Koordinat titik A dan B A(2, –4)B(8, –1)c. Gambar pada bidang Cartesius dapat dilihat pada lampiran. Penjelasan dengan langkah-langkah:Lingkaran dan Garis Singgung Lingkarana. Persamaan lingkaran L₁ dan L₂ Lingkaran L₁ yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki bentuk umum:x² + y² = r²Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dari jarak garis singgung ax + by + c = 0 dengan titik pusat lingkaran, yaitu:[tex]\begin{aligned}r&=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{aligned}[/tex]dengan x dan y merupakan absis dan ordinat titik pusat.Dari garis singgung x – 2y = 10 atau x – 2y – 10 = 0 yang menyinggung kedua lingkaran, diperoleh:a = 1, b = –2, c = –10.Karena berpusat di O(0, 0), maka ax + by + c = c, sehingga:[tex]\begin{aligned}r&=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\r^2&=\frac{c^2}{a^2+b^2}\\&=\frac{(-10)^2}{1^2+(-2)^2}\\&=\frac{100}{5}\\r^2&=\bf20\end{aligned}[/tex]Maka, persamaan lingkaran L₁ adalah:x² + y² = 20.Kemudian, lingkaran L₂ yang berpusat di titik P(11, –7) memiliki bentuk umum:(x – 11)² + (y + 7)² = r²Karena berpusat di P(11, –7):[tex]\begin{aligned}r&=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\r^2&=\frac{\left(ax+by+c\right)^2}{a^2+b^2}\\&=\frac{\left(11-2(-7)-10\right)^2}{1^2+(-2)^2}\\&=\frac{15^2}{5}=15\cdot3\\r&=\bf45\end{aligned}[/tex]Maka, persamaan lingkaran L₁ adalah:(x – 11)² + (y + 7)² = 45._______________b. Koordinat titik A dan B Dari garis singgung x – 2y = 10:⇒ x = 2y + 10Maka, untuk titik A:x² + y² = 20⇒ (2y + 10)² + y² – 20 = 0⇒ 4y² + 40y + 100 + y² – 20 = 0⇒ 5y² + 40y + 80 = 0⇒ y² + 8y + 16 = 0⇒ (y + 4)² = 0⇒ y + 4 = 0⇒ y = –4⇒ x = 2(–4) + 10 = 2Diperoleh: A(2, –4).Untuk titik B:(x – 11)² + (y + 7)² = 45⇒ (2y + 10 – 11)² + (y + 7)² – 45 = 0⇒ (2y – 1)² + (y + 7)² – 45 = 0⇒ 4y² – 4y + 1 + y² + 14y + 49 – 45 = 0⇒ 5y² + 10y + 5 = 0⇒ y² + 2y + 1 = 0⇒ (y + 1)² = 0⇒ y + 1 = 0⇒ y = –1⇒ x = 2(–1) + 10 = 8Diperoleh: B(8, –1).[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 28 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>