Jawaban:

Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Nilai dari:

a) α + β = –2

b) α . β = 3

c) α² + β² = –2

�

)

1

�

+

1

�

=

−

2

3

d)

α

1

+

β

1

=−

3

2

�

)

�

�

+

�

�

=

−

2

3

e)

β

α

+

α

β

=−

3

2

f) α³ + β³ = 10

g) α²β + β²α = –6

h) α² – β² =

−

2

+

2

2

�

−2+2

2

i atau

−

2

−

2

2

�

−2−2

2

i

�

)

1

�

−

2

+

1

�

−

2

=

−

6

11

i)

α−2

1

+

β−2

1

=−

11

6

j) (α + β)² – (α – β)² = 12

Penjelasan dengan langkah-langkah

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0.

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat maka:

x₁ + x₂ =

−

�

�

−

a

b

x₁ . x₂ =

�

�

a

c

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁.x₂

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁.x₂(x₁ + x₂)

|x₁ – x₂| =

�

�

a

D

, dengan D = b² – 4ac

Nomor 1

Diketahui

α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0.

Ditanyakan

Tentukan nilai dari:

a) α + β

b) α . β

c) α² + β²

d)

1

�

+

1

�

α

1

+

β

1

e)

�

�

+

�

�

β

α

+

α

β

f) α³ + β³

g) α²β + β²α

h) α² – β²

i)

1

�

−

2

+

1

�

−

2

α−2

1

+

β−2

1

j) (α + β)² – (α – β)²

Jawab

Langkah 1

x² + 2x + 3 = 0

a = 1

b = 2

c = 3

Langkah 2

a) α + β =

−

�

�

−

a

b

=

−

2

1

−

1

2

= –2

b) α . β =

�

�

a

c

=

3

1

1

3

= 3

c) α² + β² = (α + β)² – 2 α.β

= (–2)² – 2(3)

= 4 – 6

= –2

�

)

1

�

+

1

�

=

�

+

�

�

.

�

d)

α

1

+

β

1

=

α.β

β+α

=

−

2

3

=−

3

2

�

)

�

�

+

�

�

=

�

2

+

�

2

�

.

�

e)

β

α

+

α

β

=

α.β

α

2

+β

2

=

−

2

3

=−

3

2

f) α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ(α + β)

= (–2)³ – 3(3)(–2)

= –8 + 18

= 10

g) α²β + β²α = αβ(α + β)

= 3(–2)

= –6

Langkah 3

α – β =

∣

�

�

∣

∣

∣

a

D

∣

∣

=

∣

�

2

−

4

�

�

�

∣

∣

∣

a

b

2

−4ac

∣

∣

=

∣

2

2

−

4

(

1

)

(

3

)

1

∣

∣

∣

1

2

2

−4(1)(3)

∣

∣

=

∣

4

−

12

∣

∣

∣

4−12

∣

∣

=

∣

−

8

∣

∣

∣

−8

∣

∣

=

∣

4

×

2

×

−

1

∣

∣

∣

4×2×−1

∣

∣

=

∣

2

2

�

∣

∣

∣

2

2

i

∣

∣

h) α² – β² = (α + β)(α – β)

=

(

−

2

)

+

∣

2

2

�

∣

(−2)+

∣

∣

2

2

i

∣

∣

=

−

2

+

2

2

�

−2+2

2

i atau

−

2

−

2

2

�

−2−2

2

i

Langkah 4

�

)

1

�

−

2

+

1

�

−

2

=

(

�

−

2

)

+

(

�

−

2

)

(

�

−

2

)

(

�

−

2

)

i)

α−2

1

+

β−2

1

=

(α−2)(β−2)

(β−2)+(α−2)

=

�

+

�

−

4

�

.

�

−

2

(

�

+

�

)

+

4

=

α.β−2(α+β)+4

α+β−4

=

−

2

−

4

3

−

2

(

−

2

)

+

4

=

3−2(−2)+4

−2−4

=

−

6

3

+

4

+

4

=

3+4+4

−6

=

−

6

11

=−

11

6

j) (α + β)² – (α – β)² = (–2)² – (

∣

−

8

∣

∣

∣

−8

∣

∣

)²

= 4 – (–8)

= 12

Nomor 2

Diketahui

mx² – 4mx + 2 = 0

Ditanyakan

Nilai m jika persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar:

a) real berlainan

b) real sama

c) tidak real

Jawab

Langkah 1

mx² – 4mx + 2 = 0

a = m

b = –4m

c = 2

Langkah 2

Diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut adalah

D = b² – 4ac

= (–4m)² – 4m(2)

= 16m² – 8m

Misal

D = 0

16m² – 8m = 0

8m(2m – 1) = 0

8m = 0 atau (2m – 1) = 0

m = 0 m = ½

Garis bilangan:

++++ (0) – – – – (½) ++++

Langkah 3

Berdasarkan garis bilangan pada langkah 2, maka persamaan kuadrat memiliki:

a) dua akar real berlainan jika D > 0, berarti kita ambil daerah yang positif pada garis bilangan tersebut yaitu:

m < 0 atau m > ½

b) dua akar real sama jika D = 0, berarti:

m = 0 atau m = ½

c) dua akar tidak real jika D < 0, berarti kita ambil daerah yang negatif pada garis bilangan tersebut yaitu:

0 < m < ½

Nomor 3

Diketahui

2px² – (5p + 2)x + (4p + 1) = 0 memiliki dua akar kembar.

Ditanyakan

Tentukan nilai p yang memenuhi!

Jawab

Langkah 1

2px² – (5p + 2)x + (4p + 1) = 0

a = 2p

b = –(5p + 2)

c = 4p + 1

Langkah 2

Memiliki 2 akar kembar jika D = 0.

b² – 4ac = 0

(–(5p + 2))² – 4(2p)(4p + 1) = 0

(5p + 2)² – 8p(4p + 1) = 0

25p² + 20p + 4 – 32p² – 8p = 0

–7p² + 12p + 4 = 0

7p² – 12p – 4 = 0

(7p + 2)(p – 2) = 0

(7p + 2) = 0 atau (p – 2) = 0

7p = –2 p = 2

p =

−

2

7

−

7

2

p = 2