1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Berapa nilai c dari hasil integral persamaan bayangan garis 2x

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sinogen pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Berapa nilai c dari hasil integral persamaan bayangan garis 2x + 7y - 8 = 0 yang diecerminkan terhadap garis x = 3 lalu digeser 2 satuan ke atas. Jika limit (x \to 0) dari hasil integral tersebut sama dengan 13?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika limit (x → 0)dari hasilintegralpersamaan bayangan garis2x + 7y – 8 = 0yangdicerminkan terhadap garis x = 3, lalu digeser 2 satuan ke atas, sama dengan 13, maka nilai c dari hasil integraltersebut adalah13.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

PENYELESAIAN SINGKAT

Garis 2x + 7y – 8 = 0 adalah garis lurus. Ketika dicerminkan, kemudian digeser/di-translasi terhadap garis lurus lain, hasil bayangannya tetap merupakan garis lurus.

Persamaan garis lurus dalam bentuk baku merupakan fungsi f : x → y yang berbentuk binomial berderajat 1, sehingga ∫ ydxmenghasilkantrinomial berderajat 2, dengan bentuk ax² + bx + c. Oleh karena itu, nilai limit x mendekati 0 dari ∫ ydx adalah c.

Karena nilai limit (x→0) dari ∫ ydx adalah 13, maka:

\begin{aligned}\therefore\ c&=\boxed{\,\bf13\,}\end{aligned}
\blacksquare

PENYELESAIAN PANJANG

Terdapat dua langkah transformasi yang dilakukan pada garis 2x + 7y – 8 = 0, yaitu:

  • pencerminan terhadap garis x = 3, dilanjutkan dengan
  • translasi 2 satuan ke atas.

Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap sumbu Y (garis x = 0) adalah:

\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{aligned}

Seingga, pencerminan terhadap garis x = h dapat dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\binom{x}{y}+\binom{2h}{0}\end{aligned}

Kemudian, translasi/pergeseran asatuan secara horisontal danb satuan secara vertikal, atau T\binom{a}{b} diberikan oleh:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{a}{b}=\binom{x+a}{y+b}\end{aligned}

Jika digabungkan, bayangan (x, y) dari dua langkah transformasi di atas, dapat dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\binom{x+a}{y+b}+\binom{2h}{0}\\\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}-x-a+2h\\y+b\end{pmatrix}\end{aligned}

Pada persoalan ini:

  • T1: Pencerminan terhadap garis x = 3
    ⇒ h = 3
  • T2: Translasi 2 satuan ke atas
    ⇒ a = 0,\ b = 2

Maka:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}-x-0+6\\y+2\end{pmatrix}&=\binom{-x+6}{y+2}\\\binom{x}{y}&=\binom{-x'+6}{y'-2}\end{aligned}

Substitusikan pada persamaan awal.

\begin{aligned}&2x + 7y - 8 = 0\\&\Rightarrow 2(-x'+6)+7(y'-2)-8=0\\&\Rightarrow -2x'+12+7y'-14-8=0\\&\Rightarrow 7y'-2x'-10=0\\&\Rightarrow y'=\frac{2x'+10}{7}\end{aligned}

Jadi, diperoleh persamaan bayangan:

\begin{aligned}&\boxed{\,7y-2x-10=0\,}\\&\quad\sf atau\\&\boxed{\,y=\frac{2x+10}{7}\,}\end{aligned}

Kemudian, kita evaluasi nilai limitnya sesuai pertanyaan.

Karena nilai limit yang diketahui berlaku untuk x mendekati 0, maka integralnya adalah ∫ ydx, sehingga dapat kita selesaikan sebagai berikut.

\begin{aligned}13&=\lim_{x\to 0}\int y\,dx\\&=\lim_{x\to 0}\int\frac{2x+10}{7}\,dx\\&=\lim_{x\to 0}\int\frac{1}{7}(2x+10)\,dx\\&=\lim_{x\to 0}\,\left[\frac{1}{7}\left(x^2+10x\right)+c\right]\\&=\frac{1}{7}\cdot\lim_{x\to 0}\left(x^2+10x\right)+\lim_{x\to 0}\,c\\&=0+c\\\therefore\ c&=\boxed{\,\bf13\,}\end{aligned}

KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, nilai c adalah 13.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 31 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>