Kita ingin membuktikan bahwa jika p | q dan r | p maka r | q. Berdasarkan definisi, jika p | q, maka terdapat bilangan bulat k sehingga q = pk. Demikian pula, jika r | p, maka terdapat bilangan bulat m sehingga p = rm.

Kita ingin menunjukkan bahwa r | q, yaitu terdapat bilangan bulat n sehingga q = rn. Karena q = pk dan p = rm, maka q = rkm. Karena r, k, dan m merupakan bilangan bulat, maka r | q.

Kita ingin membuktikan bahwa ac | bd, dengan a | b dan c | d. Berdasarkan definisi, jika a | b, maka terdapat bilangan bulat k sehingga b = ak. Demikian pula, jika c | d, maka terdapat bilangan bulat m sehingga d = cm.

Kita ingin menunjukkan bahwa ac | bd, yaitu terdapat bilangan bulat n sehingga bd = acn. Substitusi b = ak dan d = cm memberikan bd = ac(km), sehingga terdapat bilangan bulat n = km yang memenuhi persamaan tersebut. Sehingga ac | bd.

Kita ingin membuktikan bahwa jika ab | c maka a | c dan b | c, dengan a, b, dan c anggota Z. Berdasarkan definisi, jika ab | c, maka terdapat bilangan bulat k sehingga c = kab.

Kita ingin menunjukkan bahwa a | c dan b | c. Untuk membuktikan bahwa a | c, kita harus menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat l sehingga c = al. Substitusi c = kab memberikan kab = al, sehingga l = kb dan terdapat bilangan bulat l yang memenuhi persamaan tersebut. Demikian pula, untuk membuktikan bahwa b | c, kita harus menunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat n sehingga c = bn. Substitusi c = kab memberikan kab = bn, sehingga n = ka dan terdapat bilangan bulat n yang memenuhi persamaan tersebut. Sehingga a | c dan b | c.

Kita ingin membuktikan bahwa 8 | s²-1, untuk s bilangan ganjil. Sebagai langkah awal, kita dapat menulis s²-1 sebagai (s+1)(s-1). Karena s adalah bilangan ganjil, maka s+1 dan s-1 adalah dua bilangan genap berturut-turut. Oleh karena itu, kita dapat menulis s+1 = 2k dan s-1 = 2l untuk bilangan bulat k dan l. Dengan melakukan substitusi ini, kita mendapatkan:

s²-1 = (s+1)(s-1) = (2k)(2l) = 4kl.

Sehingga, 8 | s²-1 karena s²-1 = 4kl, dan 8 adalah kelipatan dari 4.