1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (+50): x² + y² = r² Persamaan ini membentuk (a) Oval/elips (b)

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (+50):x² + y² = r²
Persamaan ini membentuk
(a) Oval/elips
(b) Persegi panjang
(c.) Lingkaran
(d.) Persegi
(e.) Segitiga

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan x² + y² = r²membentukLINGKARAN.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Bagi yang sudah mempelajari persamaan lingkaran, tentu tahu bahwa x² + y² = r² adalah persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) pada bidang Cartesius, dan berjari-jari r satuan.

Permasalahannya, dasar atau buktinya bagaimana?

Oke kita mulai.

Kita tahu teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, di mana a² + b² = c² menunjukkan hubungan antara dua sisi penyiku a dan b, dan sisi miring c.

Untuk persamaan x² + y² = r², setiap titik (x, y) yang memenuhi juga dapat membentuk segitiga siku-siku dengan dua sisi penyiku x dan y serta sisi miring r.

Dengan titik pusat yang sama, semua titik (x, y) yang memenuhi persamaan berjarak r satuan dari titik pusat tersebut. Rangkaian titik-titik yang memenuhi persamaan membentuk sebuah lingkaran. Hanya bangun datar lingkaran yang memenuhi karakteristik ini, yaitu semua titik yang terletak sepanjang kurva kelilingnya masing-masing memiliki jarak yang sama terhadap pusat bangun datar.

Kita juga dapat menunjukkan dengan trigonometri, yang mengarah ke persamaan parametrik.

Ambil sebuah parameter besar sudut segitiga siku-siku, katakanlah θ, yang sudutnya berimpit dengan titik pusat sistem koordinat. Ambil juga panjang sisi miring = r.

  • sin θ = sisi depan / sisi miring.
  • cos θ = sisi samping / sisi miring.

Untuk titik (x, y) berlaku:

  • sin θ = y / r
    ⇒ y = r sin θ
  • cos θ = x / r
    ⇒ x = r cos θ

Maka:
x² + y² = r² cos² θ + r² sin² θ
⇒ x² + y² = r² (cos² θ + sin² θ)
⇒ x² + y² = r² · 1
⇒ x² + y² = r²

Identitas trigonometri cos² θ + sin² θ = 1 berlaku untuk semua nilai θ. Jika kita sematkan θ dari 0 hingga 2π atau 360°, maka tracingdari setiap titiknyamembentuk busur lingkaran penuh.

Kita juga dapat meninjau dari sudut pandang integral (dan turunan).

Pada sumbu x, titik yang dilalui grafik x² + y² = r² adalah (–r, 0) dan (r, 0).

Kemudian, dari persamaan x² + y² = r²:
y² = r² – x²
⇒ y = ±√(r² – x²)

Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x² + y² = r², sumbu x, x = –r dan x = r diberikan oleh:

\begin{aligned}L&=\left|\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\right|+\left|\int_{-r}^{r}-\sqrt{r^2-x^2}\,dx\right|\\&=\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx+\left|-\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\right|\\&=\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx+\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\\L&=2\cdot\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\end{aligned}

Ambil x = r sin θ.
(Boleh juga dengan x = r cos θ.)
⇒ dx = r cos θ dθ

  • Untuk x = –r:
    –r = r sin θ
    ⇒ –1 = sin θ
    ⇒ θ = –π/2
  • Untuk x = r:
    r = r sin θ
    ⇒ 1 = sin θ
    ⇒ θ = π/2

Maka:

\begin{aligned}L&=2\cdot\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\\&=2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\left(r\cos\theta\right)d\theta\\&=2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{r^2\left(1-\sin^2\theta\right)}\left(r\cos\theta\right)d\theta\\&=2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{r^2\cos^2\theta}\left(r\cos\theta\right)d\theta\\&=2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos\theta\left(r\cos\theta\right)d\theta\\&=2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\cos^2\theta\,d\theta\end{aligned}
\begin{aligned}L&=2r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta\\&=2r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta\\&=r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\cos2\theta\right)d\theta\\&=r^2\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos2\theta\,d\theta\right)\\&=r^2\cdot\left(\pi+\int_{-\pi}^{\pi}\cos u\cdot\frac{1}{2}\,du\right)\\&=r^2\cdot\left(\pi+\frac{1}{2}\left(\sin(\pi)-\sin(-\pi)\right)\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&=r^2\cdot\left(\pi+0\right)\\L&=\pi r^2\end{aligned}

Kita memperoleh rumus luas dari bangun datar yang sudah kita kenal, yaitu rumus luas lingkaran.

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, persamaan x² + y² = r² membentuk lingkaran.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 09 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>