Sebuah tabung berjejari alas 14 cm dan Vc lume =

Berikut ini adalah pertanyaan dari zakyzaky02020 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Sebuah tabung berjejari alas 14 cm dan Vc lume = 4.928 cm³. Jika π = 2, hitung: 22 7' a. tinggi tabung, b. Luas sisi tabung!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Disini gw mau ngasih lu 2 opsi cara,

Cara #1 : Simple Way

V = 4.928 cm³

r = 14 cm

Berdasarkan rumus yang ada bahwasanya,

V = π r² t

Maka,

t = V / ( π r² )

t = 4.928 / ( 22/7 . 14 . 14 ) = 4.928 / 616 = 8cm

Lalu untuk mencari luas sisi adalah dengan cara menjumlahkan seluruh Luas Permukaan penyusun tabung,

Terdapat 2 luas lingkaran yang identik,

Terdapat 1 luas selimut,

Lt = 2 Lo + Ls

Lo = π r² = 22/7 . 196 = 616cm²

Ls = Ko . t = 2 π r t = 2 . 22/7 . 14 . 8 = 88 . 8 = 704cm²

Maka, dapat disimpulkan bahwa nilai dari

a.) t = 8cm

b.) Lt = 704 + 2 . 616 = 704 + 1232 = 1936 cm²

Cara #2 : Calculus Way

Kalau misalkan kita ingin mencari luas tabung, asumsikan nilai dari f(x) = r

Dimana r adalah jari-jari tabung yang akan kita cari,

Pada soal,

r = 14cm

Maka dapat disimpulkan, nilai dari f(x) = 14

Lalu setelah itu kita akan mencari nilai tinggi dari tabung tersebut,

Dengan menggunakan volume benda putar,

$\int\limits^t_0 {\pi(f^2(x))} \, dx =\pi\int\limits^t_0 {14^2} \, dx\\\\V=4.928cm^3\\\\4.928=\pi \int\limits^t_0 {196} \, dx=\pi[196\left \| {{x_1=t} \atop {x_2=0}} \right.\\\\4.928=\pi \times [ 196t - 0 ] =\pi \times 196t\\$

Maka bisa kita ambil kesimpulan bahwa nilai dari t adalah,

$t = \frac{4.928}{196\times\pi} =\frac{4.928}{196\times\frac{22}{7} }=\frac{4.928}{616}=8cm$

Lalu berikutnya kita akan mencari luas sisi tabung dengan menggunakan pendekatan kalkulus kembali, kini kita akan mencari luas selimut tabung dengan menggunakan integral.

Keliling f(x) = 14cm jika dijumlahkan dengan interval panjangnya, maka akan mendapatkan luas selimut,

Secara definisi luas selimut memiliki rumus,

$A=\int\limits^a_b {2\pi f(x)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2 } } \, dx=2\pi\int\limits^a_b {f(x)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx} )^2} } \, dx$

Jika kita input semua data yang kita punya, maka

$A =2\pi\int\limits^8_0 {14\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}[14] )^2} } \, dx =28\pi\int\limits^8_0 {\sqrt{1+0} } \, dx =28\pi\int\limits^8_0 \, dx=224 \pi$

Kita sudah mendapat nilai dari Luas Selimut, sekarang kita akan mencari Luas Atas dan Luas Bawah,

yang bisa kita ketahui bahwa persamaan umum lingkaran memiliki bentuk,

$x^2+y^2=r^2$

Ambil asumsi kita belum mengetahui nilai dari r,

Maka,

$y=+- \sqrt{r^2-x^2}$

Kita akan mencari luas pada kuadran 1 , jadi gunakan yang positif

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$

Jika kita ingin mencari luas lingkaran,

Kita gunakan rumus,

$A=\int\limits^r_0 {\sqrt{r^2-x^2} } \, dx$

Kita bisa menggunakan substitusi nilai x = a sin t,

Maka,

$A=\int\limits^r_0 {\sqrt{r^2-r^2sin^2t} } \, dx=\int\limits^r_0 {\sqrt{r^2(1-sin^2t)} } \, dx=r\int\limits^r_0 {\sqrt{1-sin^2t} } \, dx$

yang bisa kita ketahui bahwa,

$sin^2a+cos^2a=1$

Maka,

$=r\int\limits^r_0 {\sqrt{1-sin^2t} } \, dx=r\int\limits^r_0 {\sqrt{cos^2t}} \, dx=r\int\limits^r_0 {cost} \, dx$

Nah disini masih dalam bentuk dx, kita akan ubah ke dalam bentuk dt

$x=rsin(t)\\\\\frac{dx}{dt}=acos(t)\\\\x_1=r\times sin(r)\\\\x_2=0$

Maka,

$dx=acos(t)dt$

$r\int\limits^{r}_0 {cos(t)} \, acos(t)dt=r^2\int\limits^r_0 {cos^2(t)} \, dt=r^2\int\limits^r_0 {\frac{1}{2}(1+cos2t) } \, dx =\frac{r^2}{2} \int\limits^r_0 {1+cos2t} \, dt$

$=\frac{r^2}{2}[\frac{1}{2}sin2t+t\left \ | {{x_1=r} \atop {x_2=0}} \right.$

Nah, disitu fungsi masih f(t) kita kebalikan ke bentuk awal f(x) dengan cara,

$x=r .sin(t)\\\\sin(t)=\frac{x}{r}$

Maka,

$t=arcsin(\frac{x}{r})$

$=\frac{r^2}{2}[\frac{1}{2}sin2(arcsin(\frac{x}{r} ))+arcsin(\frac{x}{r}) \left \ | {{x_1=r} \atop {x_2=0}} \right.\\\\=\frac{r^2}{2} [\frac{1}{2}sin2(arcsin(1))+arcsin(1)-0]\\\\=\frac{r^2}{2}[\frac{1}{2}sin(2\times \frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}]\\\\=\frac{r^2}{2}[\frac{1}{2}sin(\pi)+\frac{\pi}{2}]=\frac{\pi r^2}{4}$

Nah, kita sudah mendapat rumus luas lingkaran pada kuadran 1, bisa kita tahu 1 lingkaran penuh itu terletak pada ke-empat kuadran, dan setiap kuadran memiliki nilai yang identik. Maka,

$A(r)=4\times \frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2$