Jawaban:

1. Untuk membuktikan bahwa f kontinu pada a, kita perlu menunjukkan bahwa batasan dari f(x) saat x mendekati a adalah f(a).

Karena f(x) diferensial pada a, kita dapat menggunakan definisi diferensial untuk menunjukkan bahwa batasan f(x) saat x mendekati a adalah f(a). Definisi diferensial adalah:

f'(a) = lim (x -> a) [f(x) - f(a)] / (x - a)

Karena f(x) kontinu pada domain R, maka kita dapat membagi kedua sisi persamaan ini dengan (x - a) dan mengambil batas saat x mendekati a:

lim (x -> a) [f(x) - f(a)] / (x - a) = f'(a)

Karena f'(a) ada dan f(x) kontinu pada domain R, maka batasan dari f(x) saat x mendekati a adalah f(a). Oleh karena itu, f kontinu pada a.

2. Contoh pertama: Fungsi Heaviside

Fungsi Heaviside, yang biasanya dilambangkan sebagai H(x), didefinisikan sebagai:

H(x) =

0, x < 0

1, x >= 0

Fungsi ini kontinu di semua titik kecuali pada x = 0, di mana terjadi "loncatan" dari 0 menjadi 1. Tidak ada turunan yang dapat didefinisikan pada x = 0, sehingga fungsi Heaviside tidak diferensial di titik itu.

Contoh kedua: Fungsi mutlak

Fungsi mutlak, yang biasanya dilambangkan sebagai |x|, didefinisikan sebagai:

|x| =

x, x >= 0

-x, x < 0

Fungsi ini kontinu di semua titik kecuali pada x = 0, di mana terjadi "sudut tajam" di grafiknya. Turunan tidak terdefinisi di titik itu, sehingga fungsi mutlak tidak diferensial di x = 0.

Dalam kedua contoh ini, fungsi-fungsi tersebut memiliki diskontinuitas pada titik tertentu yang menghentikan diferensialitas mereka di titik tersebut.