f(x) = –2x + π + 4.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

• Pada interval 0 ≤ x ≤ π, garis lurus (f(x)) menyinggung fungsi g(x) = 4 sin (x) + 2 cos (x).
• f(x) ⊥ h(x) = x/2

Ditanyakan:
f(x) = ...

Penyelesaian:

f(x) ⊥ h(x) = x/2
⇒ f(x) = [–1 / (½)]x + c
⇒ f(x) = –2x + c
⇒ Gradien garis lurus fungsi f(x): m = –2

Karena garis lurus fungsi f(x) menyinggung kurva fungsi g(x):
m = g’(x)
⇒ –2 = [4 sin (x) + 2 cos (x)]’
⇒ –2 = 4 cos (x) – 2 sin (x)
⇒ –2 = 2 ( 2 cos (x) – sin (x) )
⇒ –1 = 2 cos (x) – sin (x)
⇒ 2 cos (x) = sin (x) – 1
⇒ 4 cos² (x) = sin² (x) – 2 sin (x) + 1
⇒ 4 (1 – sin² (x)) = sin² (x) – 2 sin (x) + 1
⇒ 4 – 4 sin² (x) = sin² (x) – 2 sin (x) + 1
⇒ 5 sin² (x) – 2 sin (x) – 3 = 0
⇒ (5 sin (x) + 3) (sin x – 1) = 0
⇒ sin (x) = –3/5  atau  sin (x) = 1

Pada interval 0 ≤ x ≤ π, sin x ≥ 0, sehingga sin (x) = –3/5 tidak berlaku.

Maka: sin (x) = 1.

Pada interval 0 ≤ x ≤ π:
⇒ x = ½π

Pada titik singgung antara f(x) dan g(x):
f(x) = g(x)
⇒ f(½π) = g(½π)
⇒ –2(½π) + c = 4 sin (½π) + 2 cos (½π)
⇒ –π + c = 4·1 + 2·0
⇒ –π + c = 4
⇒ c = π + 4

∴ Dengan demikian:
f(x) = –2x + π + 4