yomemimo.com

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

n³-n habis dibagi 3, memakai n=2mohon bantuannya ya

Berikut ini adalah pertanyaan dari vikachow99 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

N³-n habis dibagi 3, memakai n=2
mohon bantuannya ya

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Kalo dikasih n=2 biasanya jawaban yang dicari itu bukti induksi. Dibawah dijelasin dua bukti, bukti induksi ama bukti langsung (direct proof)

Bukti induksi:

kasus dasar (n=2)

Untuk n = 2 didapat

$n^3 - n = 8-2 = 6$

yang habis dibagi 3

asumsi untuk kasus n berlaku, ( $n^3-n$ ) habis dibagi 3 atau

$n^3 - n = 3k$ untuk suatu $k \in \mathbb{Z}$ (Ф)

maka untuk kasus n+1 berlaku

$(n+1)^3-(n+1) = n^3+3n^2+3n+1-n-1 = n^3+3n^2+2n$

$= (n^3+3n^2+2n) - 0$

$= (n^3+3n^2+2n) - (3n - 3n)$

$= n^3+3n^2-n + 3n$

$= n^3- n +3n^2+ 3n$ ,dari asumsi induksi (Ф)

$= 3k +3(n^2+n)$

$= 3(k+n^2+n)$

sehingga didapat $(n+1)^3 - (n+1) = 3(\text{suatu bilangan bulat})$ maka terbukti untuk kasus n+1.

sehingga terbukti untuk semua bilangan bulat $n \geq 2$ berlaku $n^3-n$ habis dibagi 3

Bukti langsung:

perhatikan, untuk semua bilangan bulat $n \geq 2$ , n dapat ditulis sebagai

$n = 3k + r$ dimana $k$ bilangan bulat, dan $r$ bilangan

bulat dengan $0\leq r\leq 2$

perhatikan

$n^3 - n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$

sehingga, jika $n = 3k+r$ didapat

$n^3 - n = (3k+r)(3k+[r-1])(3k+[r+1])$ (⊕)

lihat 3 kasus nilai r

kalo r = 0 (atau $n = 3k$ ) maka $(3k+r) = 3k$ dan ruas kanan (⊕) dapat dibagi 3

kalo r = 1 (atau $n = 3k+1$ ) maka $(3k+[r-1]) = 3k$ dan ruas kanan (⊕) dapat dibagi 3

kalo r = 2 (atau $n = 3k+2$ )maka $(3k+[r+1]) = 3k+3 = 3(k+1)$ dan ruas kanan (⊕) dapat dibagi 3

dalam semua kasus r, n dapat dibagi 3. Terbukti.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh faggot dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 06 Nov 22

<< Previous Post