1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika x + y + z = 1 dan x³

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika x + y + z = 1 dan x³ + y³ + z³ = 4 tentukan nilai dari \displaystyle \frac{1}{x+yz}+\frac{1}{y+xz}+\frac{1}{z+xy}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\frac{1}{x+yz}+\frac{1}{y+xz}+\frac{1}{z+xy}=\,\boxed{\,\bf{-}2\,}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan:

  • x + y + z = 1   ...(1)
  • x³ + y³ + z³ = 4   ...(2)

Dari persamaan (2):

4 = x³ + y³ + z³
⇒ 4 = (x + y + z)³ – 3x(xy + xz) – 3y(xy + yz) – 3z(xz + yz) – 6xyz
⇒ 4 – 3xyz = (x + y + z)³ – 3x(xy + xz) – 3xyz – 3y(xy + yz) – 3xyz – 3z(xz + yz) – 3xyz
⇒ 4 – 3xyz = (x + y + z)³ – 3x(xy + yz + xz) – 3y(xy + yz + xz) – 3z(xz + yz + xz)

Substitusi x + y + z berdasarkan persamaan (1).

⇒ 4 – 3xyz = 1 – 3(x + y + z)(xy + yz + xz)
⇒ 4 – 3xyz = 1 – 3(xy + yz + xz)
⇒ 3 – 3xyz = –3(xy + yz + xz)
⇒ 1 – xyz = –(xy + yz + xz)
⇒ xyz – (xy + yz + xz) = 1   ...(3)

Lalu, kita olah bentuk pecahan dari nilai yang ingin dicari.

\begin{aligned}\frac{1}{x+yz}&=\frac{1}{x+y\left[1-(x+y)\right]}\\&=\frac{1}{x+y-xy-y^2}\\&=\frac{1}{(x+y)(1-y)}\\\Rightarrow\frac{1}{x+yz}&=\frac{1}{(x+y)(x+z)}\\\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{1}{y+xz}&=\frac{1}{y+x\left[1-(x+y)\right]}\\&=\frac{1}{y+x-x^2-xy}\\&=\frac{1}{(x+y)(1-x)}\\\Rightarrow\frac{1}{y+xz}&=\frac{1}{(x+y)(y+z)}\\\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{1}{z+xy}&=\frac{1}{z+x\left[1-(x+z)\right]}\\&=\frac{1}{z+x-x^2-xz}\\&=\frac{1}{(x+z)(1-x)}\\\Rightarrow\frac{1}{z+xy}&=\frac{1}{(x+z)(y+z)}\\\end{aligned}

Sehingga:

\begin{aligned}&\frac{1}{x+yz}+\frac{1}{y+xz}+\frac{1}{z+xy}\\&{=\ }\frac{1}{(x+y)(x+z)}+\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(x+z)(y+z)}\\&{=\ }\frac{(y+z)+(x+z)+(x+y)}{(x+y)(x+z)(y+z)}\\&{=\ }\frac{2(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\\&{=\ }\frac{2}{(x+y)(y+z)(x+z)}\\&{=\ }\frac{2}{(1-z)(1-x)(1-y)}\\&{=\ }\frac{2}{(1-z-x+xz)(1-y)}\\&{=\ }\frac{2}{1-z-x+xz-y-yz-xy-xyz}\\&{=\ }\frac{2}{1-(x+y+z)+(xy+yz+xz)-xyz}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{2}{\cancel{1-1}\,-\,\left[xyz-(xy+yz+xz)\right]}\\&{=\ }\frac{2}{-1}\quad\because xyz-(xy+yz+xz)=1\\&{=\ }\boxed{\,\bf{-}2\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 15 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>