Buktikan bahwa [tex]\sqrt{x} +\sqrt{y} =\sqrt{a}[/tex], [tex]\sqrt{a} \ \textgreater \ 0[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari ShiramakiCocoa pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan bahwa $\sqrt{x} +\sqrt{y} =\sqrt{a}$ , $\sqrt{a} \ \textgreater \ 0$ adalah parabola. Tentukan titik puncak dan fokusnya.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ dengan $\sqrt{a} > 0$ adalah(bagian dari) parabola.

Titik puncak parabola: (¼a, ¼a).
Titik fokus parabola: (½a, ½a).

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan membuktikan bahwa $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ dengan $\sqrt{a} > 0$ adalah parabola.

A. PEMBUKTIAN

Pertama-tama, perhatikan bahwa jika x = 0, maka y = a. Sebaliknya, jika y = 0, maka x = a. Oleh karena itu, sumbu simetrinya adalah garis yang menghubungkan titik (0, 0) dan (a, a), yaitu garis y = x.

Cara Pembuktian I

Isolasi variabel y dan kuadratkan kedua ruas persamaan.

$\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}$

Kemudian, pindahkan x ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.

$\begin{aligned}y-x&=-2\sqrt{ax}+a\\(y-x)^2&=\left(-2\sqrt{ax}+a\right)^2\\(y-x)^2&=4ax-4a\sqrt{ax}+a^2\\(y-x)^2&=4a\left(x-\sqrt{ax}+\frac{a}{4}\right)\\\Rightarrow (y-x)^2&=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right]\\\end{aligned}$

Persamaan terakhir yang kita peroleh sesuai dengan bentuk persamaan parabola (y – B)² = 4p(x – A)² yang berpusat di P(A, B).
Kita peroleh pula sumbu simetri y = B yaitu y = x, sesuai dengan pernyataan awal.

Cara Pembuktian II

$\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}$

Lalu, pindahkan bentuk akar ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.

$\begin{aligned}2\sqrt{ax}&=x-y+a\\\left(2\sqrt{ax}\right)^2&=(x-y+a)^2\\\Rightarrow\ 4ax&=(x-y+a)^2\end{aligned}$

Dengan cara sebaliknya, yaitu dengan menempatkan √x di ruas kiri pada langkah awal, kita akan memperoleh:

$4ay=(y-x+a)^2$

Dua persamaan terakhir yang diperoleh adalah persamaan parabola.

Perlu diperhatikan bahwa $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ valid untuk $0 \le x \le a$ dan $0 \le y \le a$ .
Maka, dapat dikatakan bahwa parabola dengan persamaan $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ adalahbagian dari paraboladengan persamaan $4ax=(x-y+a)^2$ atau $4ay=(y-x+a)^2$ .

KESIMPULAN

∴ Terbukti bahwa $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ dengan $\sqrt{a} > 0$ adalah(bagian dari) parabola.
$\blacksquare$

B. TITIK PUNCAK

Kita gunakan persamaan terakhir yang diperoleh pada cara pembuktian pertama.

Titik puncak dari parabola dengan persamaan

$\displaystyle (y-x)^2=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right]$

adalah

$\begin{aligned}\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4},\ x\right)\end{aligned}$

Karena sumbu simetrinya adalah $y=x$ , maka:

$\begin{aligned}x&=\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\\4x&=4\sqrt{ax}-a\\4\sqrt{ax}&=4x+a\\\left(4\sqrt{ax}\right)^2&=(4x+a)^2\\16ax&=16x^2+8ax+a^2\\0&=16x^2-8ax+a^2\\&=(4x-a)^2\\0&=4x-a\\\therefore\ x&=\frac{a}{4}=y\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Titik pusat parabola $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ adalah:

$\begin{aligned}\left(\frac{a}{4},\ \frac{a}{4}\right)\end{aligned}$
$\blacksquare$

C. TITIK FOKUS

Parabola $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ searah dengan sumbu simetri $y = x$ .
Kita rotasi parabola tersebut sejauh 45° searah jarum jam terhadap titik pusat koordinat (0, 0), sehingga kita peroleh parabola yang searah sumbu-X dengan sumbu simetri y=0.

Kita gunakan persamaan parabola pada cara pembuktian kedua, yaitu:

$4ax=(x-y+a)^2$

Ambil

$\begin{aligned}&x=tX+tY,\ y=tX-tY\\&t=\sin(45^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}$

Substitusikan.

$\begin{aligned}4a(tX+tY)&=\left[(tX+tY)-(tX-tY)+a\right]^2\\4atX+4atY&=(2tY+a)^2\\4atX+\cancel{4atY}&=4t^2Y^2+\cancel{4atY}+a^2\\4atX&=4t^2Y^2+a^2\\4a\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot X&=4\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2Y^2+a^2\\2a\sqrt{2}X&=2Y^2+a^2\\a\sqrt{2}X&=Y^2+\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}X-\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a^2}{2a\sqrt{2}}\right)\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)\\\end{aligned}$

Kita memperoleh parabola dengan titik pusat (¼a√2, 0) dan 4p = a√2 ⇒ p = ¼a√2.

Titik fokus parabola ini adalah:
F( ¼a√2 + ¼a√2, 0 )
⇒ F( ½a√2, 0 )

Kita rotasikan kembali titik fokus ini sejauh 45° berlawanan arah dengan jarum jam, sehingga titik bayangannya terletak pada garis y=x.
Kita dapat menggunakan matriks transformasi. Kita juga dapat menggunakan rumus jarak atau persamaaan lingkaran, karena titik bayangan rotasi dan titik awalnya pasti sama-sama terletak pada keliling lingkaran.

Dengan F( ½a√2, 0), jari-jari lingkaran adalah ½a√2.

Karena titik fokus √x + √y = √a terletak pada sumbu simetri y = x, maka:
x² + y² = (½a√2)²
⇒ 2x² = 2y² = ½a²
⇒ x² = y² = ¼a²
⇒ x = y = ½a

KESIMPULAN

∴ Titik fokus parabola $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ adalah:

$\begin{aligned}\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2}\right)\end{aligned}$
$\blacksquare$

$Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.Titik puncak parabola: (¼a, ¼a).Titik fokus parabola: (½a, ½a). Penjelasan dengan langkah-langkah:Kita akan membuktikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah parabola.A. PEMBUKTIANPertama-tama, perhatikan bahwa jika x = 0, maka y = a. Sebaliknya, jika y = 0, maka x = a. Oleh karena itu, sumbu simetrinya adalah garis yang menghubungkan titik (0, 0) dan (a, a), yaitu garis y = x. Cara Pembuktian IIsolasi variabel y dan kuadratkan kedua ruas persamaan.[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Kemudian, pindahkan x ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}y-x&=-2\sqrt{ax}+a\\(y-x)^2&=\left(-2\sqrt{ax}+a\right)^2\\(y-x)^2&=4ax-4a\sqrt{ax}+a^2\\(y-x)^2&=4a\left(x-\sqrt{ax}+\frac{a}{4}\right)\\\Rightarrow (y-x)^2&=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right]\\\end{aligned}[/tex]Persamaan terakhir yang kita peroleh sesuai dengan bentuk persamaan parabola (y – B)² = 4p(x – A)² yang berpusat di P(A, B). Kita peroleh pula sumbu simetri y = B yaitu y = x, sesuai dengan pernyataan awal.Cara Pembuktian II[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Lalu, pindahkan bentuk akar ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}2\sqrt{ax}&=x-y+a\\\left(2\sqrt{ax}\right)^2&=(x-y+a)^2\\\Rightarrow\ 4ax&=(x-y+a)^2\end{aligned}[/tex]Dengan cara sebaliknya, yaitu dengan menempatkan √x di ruas kiri pada langkah awal, kita akan memperoleh:[tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex]Dua persamaan terakhir yang diperoleh adalah persamaan parabola.Perlu diperhatikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] valid untuk [tex]0 \le x \le a[/tex] dan [tex]0 \le y \le a[/tex]. Maka, dapat dikatakan bahwa parabola dengan persamaan [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah bagian dari parabola dengan persamaan [tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex] atau [tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex].KESIMPULAN∴ Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.[tex]\blacksquare[/tex]B. TITIK PUNCAKKita gunakan persamaan terakhir yang diperoleh pada cara pembuktian pertama.Titik puncak dari parabola dengan persamaan[tex]\displaystyle (y-x)^2=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right][/tex]adalah[tex]\begin{aligned}\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4},\ x\right)\end{aligned}[/tex]Karena sumbu simetrinya adalah [tex]y=x[/tex], maka:[tex]\begin{aligned}x&=\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\\4x&=4\sqrt{ax}-a\\4\sqrt{ax}&=4x+a\\\left(4\sqrt{ax}\right)^2&=(4x+a)^2\\16ax&=16x^2+8ax+a^2\\0&=16x^2-8ax+a^2\\&=(4x-a)^2\\0&=4x-a\\\therefore\ x&=\frac{a}{4}=y\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴ Titik pusat parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{4},\ \frac{a}{4}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]C. TITIK FOKUSParabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] searah dengan sumbu simetri [tex]y = x[/tex]. Kita rotasi parabola tersebut sejauh 45° searah jarum jam terhadap titik pusat koordinat (0, 0), sehingga kita peroleh parabola yang searah sumbu-X dengan sumbu simetri y=0.Kita gunakan persamaan parabola pada cara pembuktian kedua, yaitu:[tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex]Ambil [tex]\begin{aligned}&x=tX+tY,\ y=tX-tY\\&t=\sin(45^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex]Substitusikan.[tex]\begin{aligned}4a(tX+tY)&=\left[(tX+tY)-(tX-tY)+a\right]^2\\4atX+4atY&=(2tY+a)^2\\4atX+\cancel{4atY}&=4t^2Y^2+\cancel{4atY}+a^2\\4atX&=4t^2Y^2+a^2\\4a\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot X&=4\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2Y^2+a^2\\2a\sqrt{2}X&=2Y^2+a^2\\a\sqrt{2}X&=Y^2+\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}X-\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a^2}{2a\sqrt{2}}\right)\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)\\\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh parabola dengan titik pusat (¼a√2, 0) dan 4p = a√2 ⇒ p = ¼a√2.Titik fokus parabola ini adalah:F( ¼a√2 + ¼a√2, 0 )⇒ F( ½a√2, 0 )Kita rotasikan kembali titik fokus ini sejauh 45° berlawanan arah dengan jarum jam, sehingga titik bayangannya terletak pada garis y=x. Kita dapat menggunakan matriks transformasi. Kita juga dapat menggunakan rumus jarak atau persamaaan lingkaran, karena titik bayangan rotasi dan titik awalnya pasti sama-sama terletak pada keliling lingkaran.Dengan F( ½a√2, 0), jari-jari lingkaran adalah ½a√2.Karena titik fokus √x + √y = √a terletak pada sumbu simetri y = x, maka:x² + y² = (½a√2)²⇒ 2x² = 2y² = ½a²⇒ x² = y² = ¼a²⇒ x = y = ½aKESIMPULAN∴ Titik fokus parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$ $Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.Titik puncak parabola: (¼a, ¼a).Titik fokus parabola: (½a, ½a). Penjelasan dengan langkah-langkah:Kita akan membuktikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah parabola.A. PEMBUKTIANPertama-tama, perhatikan bahwa jika x = 0, maka y = a. Sebaliknya, jika y = 0, maka x = a. Oleh karena itu, sumbu simetrinya adalah garis yang menghubungkan titik (0, 0) dan (a, a), yaitu garis y = x. Cara Pembuktian IIsolasi variabel y dan kuadratkan kedua ruas persamaan.[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Kemudian, pindahkan x ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}y-x&=-2\sqrt{ax}+a\\(y-x)^2&=\left(-2\sqrt{ax}+a\right)^2\\(y-x)^2&=4ax-4a\sqrt{ax}+a^2\\(y-x)^2&=4a\left(x-\sqrt{ax}+\frac{a}{4}\right)\\\Rightarrow (y-x)^2&=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right]\\\end{aligned}[/tex]Persamaan terakhir yang kita peroleh sesuai dengan bentuk persamaan parabola (y – B)² = 4p(x – A)² yang berpusat di P(A, B). Kita peroleh pula sumbu simetri y = B yaitu y = x, sesuai dengan pernyataan awal.Cara Pembuktian II[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Lalu, pindahkan bentuk akar ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}2\sqrt{ax}&=x-y+a\\\left(2\sqrt{ax}\right)^2&=(x-y+a)^2\\\Rightarrow\ 4ax&=(x-y+a)^2\end{aligned}[/tex]Dengan cara sebaliknya, yaitu dengan menempatkan √x di ruas kiri pada langkah awal, kita akan memperoleh:[tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex]Dua persamaan terakhir yang diperoleh adalah persamaan parabola.Perlu diperhatikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] valid untuk [tex]0 \le x \le a[/tex] dan [tex]0 \le y \le a[/tex]. Maka, dapat dikatakan bahwa parabola dengan persamaan [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah bagian dari parabola dengan persamaan [tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex] atau [tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex].KESIMPULAN∴ Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.[tex]\blacksquare[/tex]B. TITIK PUNCAKKita gunakan persamaan terakhir yang diperoleh pada cara pembuktian pertama.Titik puncak dari parabola dengan persamaan[tex]\displaystyle (y-x)^2=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right][/tex]adalah[tex]\begin{aligned}\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4},\ x\right)\end{aligned}[/tex]Karena sumbu simetrinya adalah [tex]y=x[/tex], maka:[tex]\begin{aligned}x&=\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\\4x&=4\sqrt{ax}-a\\4\sqrt{ax}&=4x+a\\\left(4\sqrt{ax}\right)^2&=(4x+a)^2\\16ax&=16x^2+8ax+a^2\\0&=16x^2-8ax+a^2\\&=(4x-a)^2\\0&=4x-a\\\therefore\ x&=\frac{a}{4}=y\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴ Titik pusat parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{4},\ \frac{a}{4}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]C. TITIK FOKUSParabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] searah dengan sumbu simetri [tex]y = x[/tex]. Kita rotasi parabola tersebut sejauh 45° searah jarum jam terhadap titik pusat koordinat (0, 0), sehingga kita peroleh parabola yang searah sumbu-X dengan sumbu simetri y=0.Kita gunakan persamaan parabola pada cara pembuktian kedua, yaitu:[tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex]Ambil [tex]\begin{aligned}&x=tX+tY,\ y=tX-tY\\&t=\sin(45^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex]Substitusikan.[tex]\begin{aligned}4a(tX+tY)&=\left[(tX+tY)-(tX-tY)+a\right]^2\\4atX+4atY&=(2tY+a)^2\\4atX+\cancel{4atY}&=4t^2Y^2+\cancel{4atY}+a^2\\4atX&=4t^2Y^2+a^2\\4a\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot X&=4\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2Y^2+a^2\\2a\sqrt{2}X&=2Y^2+a^2\\a\sqrt{2}X&=Y^2+\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}X-\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a^2}{2a\sqrt{2}}\right)\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)\\\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh parabola dengan titik pusat (¼a√2, 0) dan 4p = a√2 ⇒ p = ¼a√2.Titik fokus parabola ini adalah:F( ¼a√2 + ¼a√2, 0 )⇒ F( ½a√2, 0 )Kita rotasikan kembali titik fokus ini sejauh 45° berlawanan arah dengan jarum jam, sehingga titik bayangannya terletak pada garis y=x. Kita dapat menggunakan matriks transformasi. Kita juga dapat menggunakan rumus jarak atau persamaaan lingkaran, karena titik bayangan rotasi dan titik awalnya pasti sama-sama terletak pada keliling lingkaran.Dengan F( ½a√2, 0), jari-jari lingkaran adalah ½a√2.Karena titik fokus √x + √y = √a terletak pada sumbu simetri y = x, maka:x² + y² = (½a√2)²⇒ 2x² = 2y² = ½a²⇒ x² = y² = ¼a²⇒ x = y = ½aKESIMPULAN∴ Titik fokus parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$ $Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.Titik puncak parabola: (¼a, ¼a).Titik fokus parabola: (½a, ½a). Penjelasan dengan langkah-langkah:Kita akan membuktikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah parabola.A. PEMBUKTIANPertama-tama, perhatikan bahwa jika x = 0, maka y = a. Sebaliknya, jika y = 0, maka x = a. Oleh karena itu, sumbu simetrinya adalah garis yang menghubungkan titik (0, 0) dan (a, a), yaitu garis y = x. Cara Pembuktian IIsolasi variabel y dan kuadratkan kedua ruas persamaan.[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Kemudian, pindahkan x ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}y-x&=-2\sqrt{ax}+a\\(y-x)^2&=\left(-2\sqrt{ax}+a\right)^2\\(y-x)^2&=4ax-4a\sqrt{ax}+a^2\\(y-x)^2&=4a\left(x-\sqrt{ax}+\frac{a}{4}\right)\\\Rightarrow (y-x)^2&=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right]\\\end{aligned}[/tex]Persamaan terakhir yang kita peroleh sesuai dengan bentuk persamaan parabola (y – B)² = 4p(x – A)² yang berpusat di P(A, B). Kita peroleh pula sumbu simetri y = B yaitu y = x, sesuai dengan pernyataan awal.Cara Pembuktian II[tex]\begin{aligned}\sqrt{y}&=-\sqrt{x}+\sqrt{a}\\\left(\sqrt{y}\right)^2&=\left(-\sqrt{x}+\sqrt{a}\right)^2\\\Rightarrow y&=x-2\sqrt{ax}+a\end{aligned}[/tex]Lalu, pindahkan bentuk akar ke ruas kiri, dan kuadratkan kedua ruas.[tex]\begin{aligned}2\sqrt{ax}&=x-y+a\\\left(2\sqrt{ax}\right)^2&=(x-y+a)^2\\\Rightarrow\ 4ax&=(x-y+a)^2\end{aligned}[/tex]Dengan cara sebaliknya, yaitu dengan menempatkan √x di ruas kiri pada langkah awal, kita akan memperoleh:[tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex]Dua persamaan terakhir yang diperoleh adalah persamaan parabola.Perlu diperhatikan bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] valid untuk [tex]0 \le x \le a[/tex] dan [tex]0 \le y \le a[/tex]. Maka, dapat dikatakan bahwa parabola dengan persamaan [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah bagian dari parabola dengan persamaan [tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex] atau [tex]4ay=(y-x+a)^2[/tex].KESIMPULAN∴ Terbukti bahwa [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] dengan [tex]\sqrt{a} > 0[/tex] adalah (bagian dari) parabola.[tex]\blacksquare[/tex]B. TITIK PUNCAKKita gunakan persamaan terakhir yang diperoleh pada cara pembuktian pertama.Titik puncak dari parabola dengan persamaan[tex]\displaystyle (y-x)^2=4a\left[x-\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\right)\right][/tex]adalah[tex]\begin{aligned}\left(\sqrt{ax}-\frac{a}{4},\ x\right)\end{aligned}[/tex]Karena sumbu simetrinya adalah [tex]y=x[/tex], maka:[tex]\begin{aligned}x&=\sqrt{ax}-\frac{a}{4}\\4x&=4\sqrt{ax}-a\\4\sqrt{ax}&=4x+a\\\left(4\sqrt{ax}\right)^2&=(4x+a)^2\\16ax&=16x^2+8ax+a^2\\0&=16x^2-8ax+a^2\\&=(4x-a)^2\\0&=4x-a\\\therefore\ x&=\frac{a}{4}=y\end{aligned}[/tex]KESIMPULAN∴ Titik pusat parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{4},\ \frac{a}{4}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]C. TITIK FOKUSParabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] searah dengan sumbu simetri [tex]y = x[/tex]. Kita rotasi parabola tersebut sejauh 45° searah jarum jam terhadap titik pusat koordinat (0, 0), sehingga kita peroleh parabola yang searah sumbu-X dengan sumbu simetri y=0.Kita gunakan persamaan parabola pada cara pembuktian kedua, yaitu:[tex]4ax=(x-y+a)^2[/tex]Ambil [tex]\begin{aligned}&x=tX+tY,\ y=tX-tY\\&t=\sin(45^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{aligned}[/tex]Substitusikan.[tex]\begin{aligned}4a(tX+tY)&=\left[(tX+tY)-(tX-tY)+a\right]^2\\4atX+4atY&=(2tY+a)^2\\4atX+\cancel{4atY}&=4t^2Y^2+\cancel{4atY}+a^2\\4atX&=4t^2Y^2+a^2\\4a\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot X&=4\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)^2Y^2+a^2\\2a\sqrt{2}X&=2Y^2+a^2\\a\sqrt{2}X&=Y^2+\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}X-\frac{a^2}{2}\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a^2}{2a\sqrt{2}}\right)\\Y^2&=a\sqrt{2}\left(X-\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)\\\end{aligned}[/tex]Kita memperoleh parabola dengan titik pusat (¼a√2, 0) dan 4p = a√2 ⇒ p = ¼a√2.Titik fokus parabola ini adalah:F( ¼a√2 + ¼a√2, 0 )⇒ F( ½a√2, 0 )Kita rotasikan kembali titik fokus ini sejauh 45° berlawanan arah dengan jarum jam, sehingga titik bayangannya terletak pada garis y=x. Kita dapat menggunakan matriks transformasi. Kita juga dapat menggunakan rumus jarak atau persamaaan lingkaran, karena titik bayangan rotasi dan titik awalnya pasti sama-sama terletak pada keliling lingkaran.Dengan F( ½a√2, 0), jari-jari lingkaran adalah ½a√2.Karena titik fokus √x + √y = √a terletak pada sumbu simetri y = x, maka:x² + y² = (½a√2)²⇒ 2x² = 2y² = ½a²⇒ x² = y² = ¼a²⇒ x = y = ½aKESIMPULAN∴ Titik fokus parabola [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 10 Apr 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Buktikan bahwa [tex]\sqrt{x} +\sqrt{y} =\sqrt{a}[/tex], [tex]\sqrt{a} \ \textgreater \ 0[/tex]

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

A. PEMBUKTIAN

B. TITIK PUNCAK

C. TITIK FOKUS

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika