5 Diketahui matriks B = y -2 3 7 3

Berikut ini adalah pertanyaan dari tamaozora3 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

5 Diketahui matriks B = y -2 3 7 3 -3 y- Jika B adalah matriks singular, carilah nilai y dengan menggunakan operasi baris elementer.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui matriks $\rm B = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix}$ . Jika B adalah matriks singular, maka nilai y yang mungkin adalah -20 atau 2.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui :

$\rm B = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix}$
Matriks B singular

Ditanya :

Nilai y?

Jawab :

Untuk membuat operasi baris elementer ubah bentuk matriks menjadi segitiga atas atau segitiga bawah. Pada soal ini coba dibuat untuk matriks segitiga atas.

Langkah pertama, baris ke-2 yang baru dibuat dari baris ke-2 dibagi dengan y. Karena di bagi y berarti tulis nilai y di luar matriks :

$\rm \frac{b_2}{y}$

$\rm \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ y & 7 & -3 \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix}$

Langkah kedua, baris ke-3 yang baru dibuat dari baris ke-3 ditambahkan dengan baris ke-2 :

$\rm b_3 = b_3+b_2$

$\rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ -1 & 3 & y-4 \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix}$

Langkah ketiga, baris ke-2 yang baru dibuat dari baris ke-2 dikurang dengan satu per lima dari baris pertama :

$\rm b_2 =b_2- \frac{1}{5}b_1$

$\rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 1 & \frac{7}{y} & \frac{-3}{y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix}$

Langkah keempat, kita perlu mengubah baris ke-3 yang barus di baris ke-3 kolom ke-2 menjadi 0 dengan operasi dari baris ke-2. Karena angkanya rumit, kita perlu nencari nilai pengali baris ke-2 menggunakan persamaan sama dengan 0 :

$\rm \frac{3y+7}{y}-(\frac{2y+35}{5y})a = 0$

$\rm \frac{3y+7}{y}=\frac{2y+35}{5y})a$

$\rm a = \frac{3y+7}{y}\times \frac{5y}{2y+35}$

$\rm a = \frac{15y+35}{2y+35}$

Langkah kelima, baris ke-3 yang baru dibuat dari baris ke-3 dikurang dengan baris ke-2 dikali dengan $\rm (\frac{15y+35}{2y+35})$ :

$\rm b_3 = b_3-b_2(\frac{15y+35}{2y+35})$ :

$\rm y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & \frac{3y+7}{y} & \frac{y^2-4y-3}{y} \end{bmatrix} \rightarrow y\begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 0 & \frac{2y+35}{5y} & \frac{-3y-15}{5y} \\ 0 & 0 & \frac{2y^2-36y-80}{y} \end{bmatrix}$

Langkah kelima, sudah terbentuk matriks segitiga atas, maka langkah selanjutnya mencari nilai y. Ingat kembali dari soal diketahui bahwa matriks B singular, yang berarti determinannya sama dengan 0. Untuk mencari determinan dari operasi baris elementer, kalikan semua bilangan diluar matriks dengan diagonal utama :

$\rm (y)(5)(\frac{2y+35}{5y})(\frac{2y^2+36y-80}{2y+35})=0$