1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Soal persamaan eksponen yang menantang. Berapa nilai x yang memenuhi? [tex]\large

Berikut ini adalah pertanyaan dari peesbedrf pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Soal persamaan eksponen yang menantang. Berapa nilai x yang memenuhi?\large 2^{x^4-10x^2+8}=\sqrt{\frac{x}{x^2+3}}

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&{\sf Nilai\ }x{\sf\ yang\ memenuhi\ persamaan}\\ &2^{x^4-10x^2+8}=\sqrt{\dfrac{x}{x^2+3}}\\&{\sf adalah\ \ }\boxed{\,x \in \{\bf1,3\}\,}\ .\end{aligned}
 

Penjelasan

Diberikan persamaan:

2^{x^4-10x^2+8}=\sqrt{\dfrac{x}{x^2+3}}

Langkah awal penyelesaian: kuadratkan kedua ruas. Diperoleh:

4^{x^4-10x^2+8}=\dfrac{x}{x^2+3}

Lalu, untuk ruas kiri:

\begin{aligned}4^{x^4-10x^2+8}&=4^{x^4-x^2-9x^2+9-1}\\&=4^{-1}\cdot4^{x^4-x^2-9x^2+9}\\&=4^{-1}\cdot4^{x^4-x^2-\left(9x^2-9\right)}\\&=4^{-1}\cdot4^{x^2\left(x^2-1\right)-9\left(x^2-1\right)}\\&=\frac{4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}}{4}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}\dfrac{x}{x^2+3}&=\frac{4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}}{4}\\4x&=4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}(x^2+3)\\0&=4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}(x^2+3)-4x\\0&=4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}x^2-4x+3\cdot4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}\end{aligned}

Jumlah akar-akarnya adalah:

\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{4}{4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}}\end{aligned}

Hasil kali akar-akarnya adalah:

\begin{aligned}x_1x_2&=\frac{3\cdot\cancel{4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}}}{\cancel{4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}}}\\&=3\\&=1\cdot3\ \lor\ (-1)\cdot(-3)\end{aligned}

Jelas masih ada pasangan nilai xlain yang memenuhix_1x_2=3.
Namun dapat kita perhatikan bahwa baik untuk x_1, x_2 \in \{1, 3\}maupun untukx_1, x_2 \in \{-1, -3\}:

4^{\left(x^2-9\right)\left(x^2-1\right)}=4^0=1

yang menyebabkan:

x_1+x_2=\dfrac{4}{1}=4=1+3

Oleh karena itu, nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah:

\begin{aligned}\boxed{\,x \in \{\bf1,3\}\,}\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 20 May 23
<< Previous Post
Next Post >>