1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis (susah): Cari luas lingkaran dan keliling lingkaran yg persamaannya

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis (susah): Cari luas lingkaran dan keliling lingkaran yg persamaannya melewati titik-titik (3, 0), (0, 3) dan (4, 5) dalam diagram kartesius.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luasdankeliling lingkaranyang melalui titik(3, 0), (0, 3), dan (4, 5)dinyatakan olehLdanK, yaitu:

\begin{aligned}&\boxed{\,L=\bf\frac{65\pi}{9}\ satuan\ luas\,}\\&\boxed{\,K=\bf\frac{2\pi}{3}\sqrt{65}\ satuan\,}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Anggap titik pusat lingkaran adalah P(a, b).

Maka, terdapat 3 vektor dengan besar yang sama (yang juga menyatakan panjang jari-jari lingkaran), dari titik P menuju ketiga titik yang dilalui lingkaran, yaitu:

  • P \to (3, 0): \vec{u} = (3 - a,\ -b)
  • P \to (0, 3): \vec{v} = (-a,\ 3 - b)
  • P \to (4, 5): \vec{w} = (4 - a,\ 5 - b)

Kesamaan besar vektordan penyelesaian untuk memperoleh nilaiadanb diberikan oleh:

\begin{aligned}&|\vec{u}|=|\vec{v}|\\&\Rightarrow |\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2\\&\Rightarrow (3-a)^2+(-b)^2=(-a)^2+(3-b)^2\\&\Rightarrow (3-a)^2+b^2=a^2+(3-b)^2\\&\Rightarrow (3-a)^2-a^2=(3-b)^2-b^2\\&\Rightarrow 9-6a=9-6b\\&\Rightarrow a=b\quad...(1)\end{aligned}

\begin{aligned}&|\vec{u}|=|\vec{w}|\\&\Rightarrow |\vec{u}|^2=|\vec{w}|^2\\&\Rightarrow (3-a)^2+(-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2\\&\Rightarrow (3-a)^2+b^2=(4-a)^2+(5-b)^2\\&\Rightarrow (3-a)^2-(4-a)^2=(5-b)^2-b^2\\&\Rightarrow 9-6a-16+8a=25-10b\\&\Rightarrow 2a-7=25-10b\\&\Rightarrow 2a+10b=32\\&\Rightarrow a+5b=16\\&\Rightarrow 6a=6b=16\ \because\ (1):a=b\\&\Rightarrow 3a=3b=8\\&\Rightarrow a=b=\bf\frac{8}{3}\end{aligned}

Jadi, titik pusat lingkaran tersebut adalah:

P\left(\dfrac{8}{3},\ \dfrac{8}{3}\right)

Panjang jari-jari lingkaran kita tentukan dengan:

\begin{aligned}r^2&=|\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2=|\vec{w}|^2\\&\quad\textsf{ambil salah satu saja}\\&=|\vec{u}|^2\\&=(3-a)^2+(-b)^2\\&=(3-a)^2+b^2\\&\quad\textsf{subs.\ $a$ dan $b$}\\&=\left(3-\frac{8}{3}\right)^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2\\&=\frac{1}{9}+\frac{64}{9}\\\therefore\ r^2&={\bf\frac{65}{9}}\implies r=\bf\frac{1}{3}\sqrt{65}\\\end{aligned}

Dengan demikian, dapat kita peroleh:

  • Luas lingkaran:
    \begin{aligned}L&=\pi r^2=\bf\frac{65\pi}{9}\ satuan\ luas\end{aligned}
  • Keliling lingkaran:
    \begin{aligned}K&=2\pi r=\bf\frac{2\pi}{3}\sqrt{65}\ satuan\end{aligned}

\blacksquare
______________

Tambahan

Dibuang sayang...
Karena tadi sudah salah mengerjakan, maka sekalian saja saya tambahkan persamaan lingkarannya.

\begin{aligned}&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\&{\Rightarrow\ } (x-a)^2+(y-b)^2=|\vec{u}|^2\\&{\Rightarrow\ } \left(x-\frac{8}{3}\right)^2+\left(y-\frac{8}{3}\right)^2=\left(3-\frac{8}{3}\right)^2+\left(-\frac{8}{3}\right)^2\\&{\Rightarrow\ } x^2-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}+y^2-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\frac{64}{9}\\&{\Rightarrow\ } x^2-\frac{16}{3}x+y^2-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}\\&{\Rightarrow\ } x^2-\frac{16}{3}x+y^2-\frac{16}{3}y+\frac{63}{9}=0\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ } x^2-\frac{16}{3}x+y^2-\frac{16}{3}y+7=0\\&{\Rightarrow\ } 3x^2+3y^2-16x-16y+21=0\\\end{aligned}

Jadi, persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 0), (0, 3), dan (4, 5) adalah:
3x² – 16x + 3y² – 16y + 21 = 0atau3(x² + y² + 7) = 16(x + y).
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 07 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>