1) Himpunan nilai yang memenuhi persamaan [tex]\large{ \frac{2 \sin(f) }{1

Berikut ini adalah pertanyaan dari Vyhrmlέ06 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1) Himpunan nilai yang memenuhi persamaan $\large{ \frac{2 \sin(f) }{1 + \cos(f) } + \frac{3 - \cos(f) }{ \sin(f) }} = \csc(f)$
untuk interval 0° < f ≤ 180° adalah...

2) Banyaknya nilai yang memenuhi atau menjadi penyelesaian dari persamaan trigonometri
$\large{ \frac{3 \sin(x) }{1 - \cos(x) } - \frac{\cos(x) + 1}{ \sin(x) } = \frac{2}{1 - \cos(x) } }$
pada selang [0, 2π] yaitu...
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 1

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

1. Himpunan nilai yang memenuhi $\displaystyle{\frac{2sin(f)}{1+cos(f)}+\frac{3-cos(f)}{sin(f)}=csc(f)}$ untuk interval 0⁰ < f ≤ 180⁰ adalah tidak ada atau {Ф}.

2. Banyaknya nilai yang memenuhi $\displaystyle{\frac{3sinx}{1-cosx}-\frac{cosx+1}{sinx}=\frac{2}{1-cosx}}$ pada selang [0, 2π] adalah e. 1.

PEMBAHASAN

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut pada segitiga. Persamaan trigonometri berbentuk $\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ dipenuhi oleh $f(x)=0$ dengan syarat $g(x)\neq 0$

SOAL 1

DIKETAHUI

$\displaystyle{\frac{2sin(f)}{1+cos(f)}+\frac{3-cos(f)}{sin(f)}=csc(f)}$

DITANYA

Tentukan himpunan nilai yang memenuhi untuk 0⁰ < f ≤ 180⁰.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{\frac{2sin(f)}{1+cos(f)}+\frac{3-cos(f)}{sin(f)}=csc(f)}$

$\displaystyle{\frac{2sin^2(f)+(3-cos(f))(1+cos(f))}{(1+cos(f))sin(f)}=\frac{1}{sin(f)}}$

$\displaystyle{\frac{2sin^2(f)+3+2cos(f)-cos^2(f)}{(1+cos(f))sin(f)}-\frac{1}{sin(f)}=0}$

$\displaystyle{\frac{2sin^2(f)+3+2cos(f)-cos^2(f)-(1+cos(f))}{(1+cos(f))sin(f)}=0}$

$\displaystyle{\frac{2sin^2(f)+cos(f)-cos^2(f)+2}{(1+cos(f))sin(f)}=0}$

Agar persamaan bernilai benar, maka bagian pembilang harus = 0 dan bagian penyebut ≠ 0.

$2sin^2(f)+cos(f)-cos^2(f)+2=0$

$2(1-cos^2(f))+cos(f)-cos^2(f)+2=0$

$2-2cos^2(f)+cos(f)-cos^2(f)+2=0$

$-3cos^2(f)+cos(f)+4=0$

$3cos^2(f)-cos(f)-4=0$

$[3cos(f)-4][cos(f)+1]=0$

$3cos(f)-4=0$

$3cos(f)=4$

$\displaystyle{cos(f)=\frac{4}{3}~\to~tidak~memiliki~solusi}$

Atau

$cos(f)+1=0$

$cos(f)=-1$

$f=180^{\circ}$

Cek bagian penyebut untuk f = 180⁰ :

$[1+cos(f)]sin(f)=[1+cos(180^{\circ})]sin(180^{\circ})$

$[1+cos(f)]sin(f)=[1-1](0)$

$[1+cos(f)]sin(f)=0$

Karena bagian penyebut = 0, maka f = 180⁰ bukan solusinya, sehingga persamaan tidak memiliki solusi.