Keadaan grafik f(x) = cos 3x – 5secara berurutan pada batas0 ≤ x ≤ 180° adalah:

• f(x) stasioner (maksimum) pada saat x = 0,
• f(x) turunpada saat0 < x < 60°,
• f(x) stasioner (minimum) pada saat x = 60°,
• f(x) naikpada saat60° < x < 120°,
• f(x) stasioner (maksimum) pada saat x = 120°,
• f(x) turunpada saat120° < x < 180°, dan
• f(x) stasioner (minimum) pada saat x = 180°.

Rangkuman:

• f(x) naik pada saat 60° < x < 120°.
• f(x) turun pada saat 0° < x < 60° atau 120° < x < 180.
• f(x) stasioner pada saat x ∈ {0°, 60°, 120°, 180°}.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan fungsi trigonometri: f(x) = cos 3x – 5. Kita akan menentukan nilai x saat f(x) naik, f(x) turun, dan f(x) stasioner pada batas 0 ≤ x ≤ 180°.

Turunan pertama dari f(x) adalah:
f'(x) = cos 3x – 5
⇒ f'(x) = (–sin 3x)(3x)' – (5)'
⇒ f’(x) = –3 sin 3x

Kita periksa keadaan stasioner terlebih dahulu. Fungsi cosinus memiliki 2 jenis keadaan stasioner, yaitu pada saat f(x) maksimum, dan pada saat f(x) minimum.

f(x) stasioner ketika f'(x) = 0.
–3 sin 3x = 0
⇒ sin 3x = 0
⇒ 3x = 180°·n, n ∈ ℤ
Kedua ruas dibagi 3.
⇒ x = 60°·n, n ∈ ℤ
Pada rentang 0 ≤ x ≤ 180°:
⇒ x ∈ {0°, 60°, 120°, 180°}

∴ Jadi, f(x) stasioner pada saat x ∈ {0°, 60°, 120°, 180°}.

Dari keempat nilai x saat f(x) stasioner tersebut, dengan memperhatikan karakteristik grafik fungsi cosinus, dapat kita simpulkan bahwa:

• f(x) naik pada saat 60° < x < 120°.
• f(x) turun pada saat 0° < x < 60° atau 120° < x < 180°.

Jika kita memeriksa dari turunan pertamanya, f(x) naik ketika gradien garis singgungnya positif, yaitu ketika f'(x) > 0.
–3 sin 3x > 0
⇒ sin 3x < 0
⇒ 180° + 360°·n < 3x < 360° + 360°·n, n ∈ ℤ
⇒ 60° + 120°·n < x < 120° + 120°·n
Pada rentang 0 ≤ x ≤ 180°, n yang memenuhi adalah n = 0.
⇒ 60° + 0° < x < 120° + 0°

∴ Jadi, f(x) naik pada saat 60° < x < 120°.

Sebaliknya, f(x) turun ketika gradien garis singgungnya negatif, yaitu ketika f'(x) < 0.
–3 sin 3x < 0
⇒ sin 3x > 0
⇒ 0° + 360°·n < 3x < 180° + 360°·n, n ∈ ℤ
⇒ 0° + 120°·n < x < 60° + 120°·n, n ∈ ℤ
Pada rentang 0 ≤ x ≤ 180°, n yang memenuhi adalah n ∈ {0, 1}.
⇒ 0° + 0° < x < 60° + 0°, atau 0° + 120° < x < 60° + 120°

∴ Jadi, f(x) turun pada saat 0° < x < 60° atau 120° < x < 180°.