MTK~PERSAMAAN GARIS LURUS_______________Garis L1 : 4x - 3y + 1

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sinogen pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

MTK~PERSAMAAN GARIS LURUS_______________

Garis L1 : 4x - 3y + 1 = 0, L2 : x - y + 1 = 0 dan L3 terletak seperti pada gambar. Persamaan garis L3 adalah...

A. x + y - 3 = 0

B. 3x - 4y + 5 = 0

C. 3x - 4y + 6 = 0

D. 3x + 4y - 11 = 0

E. 3x + 4y - 10 = 0

$\small\boxed{\tt{Note_{1}=Jawablah\ dengan\ usaha\ sendiri}}$
$\small\boxed{\tt{Note_{2}=Dilarang\ nyalin\ jawaban\ maupun\ copas\ dari\ web}}$
$\small\boxed{\tt{Note_{3}=Jaga \ Kesehatan \ yah}}$

Terimakasih ^^
$MTK~PERSAMAAN GARIS LURUS_______________Garis L1 : 4x - 3y + 1 = 0, L2 : x - y + 1 = 0 dan L3 terletak seperti pada gambar. Persamaan garis L3 adalah...A. x + y - 3 = 0B. 3x - 4y + 5 = 0C. 3x - 4y + 6 = 0D. 3x + 4y - 11 = 0E. 3x + 4y - 10 = 0[tex]\small\boxed{\tt{Note_{1}=Jawablah\ dengan\ usaha\ sendiri}}[/tex][tex]\small\boxed{\tt{Note_{2}=Dilarang\ nyalin\ jawaban\ maupun\ copas\ dari\ web}}[/tex][tex]\small\boxed{\tt{Note_{3}=Jaga \ Kesehatan \ yah}}[/tex]Terimakasih ^^$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis L3adalah3x – 4y + 6 = 0.
 

Pembahasan

Diketahui

Garis L1 : 4x – 3y + 1 = 0, L2 : x – y + 1 = 0 dan L3 terletak seperti pada gambar.
Dari pengamatan gambar: sudut antara L1 dengan L2, yaitu sudut θ, sama besarnya dengan sudut antara L2 dengan L3.

Ditanyakan

Persamaan garis L3.

Penyelesaian

Garis L3 merupakan hasil/bayangan rotasi garis L1 terhadap garis L2, dengan titik pusat pada titik potong garis L1 terhadap garis L2.

Pertama-tama, kita cari gradien dari L1 dan L2.

L1 : 4x – 3y + 1 = 0
⇒ 3y = 4x + 1
⇒ y = (4/3)x + 1/3
⇒ Gradien L1: m₁ = 4/3
L2 : x – y + 1 = 0
⇒ y = x + 1
⇒ Gradien L2: m₂ = 1

Kedua, menentukan titik potong garis L1 dan L2.

L1 = L2
⇒ (4/3)x + 1/3 = x + 1
⇒ 4x + 1 = 3x + 3
⇒ 4x – 3x = 3 – 1
⇒ x = 2 ⇒ y = x + 1 = 3
Titik potongnyaadalah(2, 3).

Setelah itu, kita memiliki setidaknya dua cara untuk menentukan bayangan atau hasil rotasi L1 terhadap L2.

CARA PERTAMA

Gradien garis L3:
m₃ = (m₁ / m₂)
⇒ m₃ = (1 / (4/3))
⇒ m₃ = 3/4

Persamaan garis L3:
L3: y = (3/4)x + c
⇒ 4y = 3x + c
⇒ 3x – 4y + c = 0

Kemudian, kita tentukan c dari titik potong di atas.
L3: 3x – 4y + c = 0
⇒ 3(2) – 4(3) + c = 0
⇒ 6 – 12 + c = 0
⇒ –6 + c = 0
⇒ c = 6

Diperoleh:
∴ L3: 3x – 4y + 6 = 0
_________________

CARA KEDUA: Dengan Matriks Transformasi

Persamaan garis acuan rotasi adalah:
L2: y = x + 1
⇒ m = 1

tan θ = m = 1. Maka θ = 45°.

Kemudian kita tentukan nilai cos 2θ dan sin 2θ, karena garis L1 akan dirotasi sebesar 2 × sudut antara L1 dan L2.

cos 2θ = cos 90° = 0
sin 2θ = sin 90° = 1

Matriks transformasi (rotasi) dan inversnya adalah:

$\begin{aligned}M&=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}\\M^{-1}&=\frac{1}{|M|}\cdot M\\&=\frac{1}{-cos^22\theta-\sin^22\theta}\cdot M\\&=\frac{1}{-\left(cos^22\theta+\sin^22\theta\right)}\cdot M\\&=\frac{1}{-1}\cdot M\\M^{-1}&=-M\end{aligned}$

Dari sini dapat kita simpulkan pula bahwa invers matriks transformasi untuk rotasi merupakan negatif dari matriks transformasinya.

Kemudian, kita tentukan bayangan garis L1 hasil rotasi terhadap L2, dengan memanfaatkan sifat invers matriks.

Jangan lupa, titik pusat rotasi adalah titik potong yang sudah kita peroleh di atas, yaitu (a, b) = (2, 3).

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'-a\\ y'-b\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\ y-b\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x-a\\ y-b\end{pmatrix}&=M^{-1}\cdot\begin{pmatrix}x'-a\\ y'-b\end{pmatrix}\\&=-M\cdot\begin{pmatrix}x'-a\\ y'-b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-\cos2\theta&-\sin2\theta\\ -\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'-2\\ y'-3\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&-1\\ -1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'-2\\ y'-3\end{pmatrix}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\begin{pmatrix}-(y'-3)\\-(x'-2)\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x-2\\ y-3\end{pmatrix}\:&=\begin{pmatrix}-y'+3\\-x'+2\end{pmatrix}\\\end{aligned}$

Kita peroleh:

$\begin{aligned}\bullet\ &x-2=-y'+3\\&\Rightarrow x=-y'+5\\\bullet\ &y-3=-x'+2\\&\Rightarrow y=-x'+5\\\end{aligned}$

Substitusikan x dan y ke persamaan garis yang dirotasi, yaitu L1.

$\begin{aligned}&L1:4x-3y+1=0\\&\Rightarrow 4\left(-y'+5\right)-3\left(-x'+5\right)+1=0\\&\Rightarrow -4y'+20+3x'-15+1=0\\&\Rightarrow 3x'-4y'+20-15+1=0\\&\Rightarrow 3x'-4y'+6=0\\\end{aligned}$