1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

persamaan peta kurva y = x² - 3x + 2

Berikut ini adalah pertanyaan dari apr153 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Persamaan peta kurva y = x² - 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah. . .a) 3y + 9x² - 9x + 2 = 0
b) -3y - 9x² + 9x - 2 = 0
c) 3y - 9x² + 9x + 2 = 0
d) -3y + 9x² + 9x + 2 = 0
e) 3y + 9x² + 9x - 2 = 0​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu-X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah:
\boxed{\,3y+x^2-9x+18=0\,}
(tidak ada pada opsi jawaban)
 

Penjelasan

Transformasi Geometri

Diketahui

Kurva y = x² – 3x + 2 yang mengalami transformasi (secara berurutan):

  • T_1 : pencerminan terhadap sumbu-X
  • T_2 : dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3.

Ditanyakan
Persamaan peta kurva tersebut.

Penyelesaian

Cara I: Komposisi Transformasi

Pencerminan dan dilatasi dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks transformasi berbentuk matriks persegi 2×2. Karena dimensi matriks transformasinya sama, kedua transformasi secara berurutan tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah matriks transformasi komposisi.

Jika M_1danM_2berturut-turut menyatakan matriks transformasi untuk transformasiT_1danT_2, maka komposisi transformasi T_1dilanjutkanT_2 dinyatakan dengan:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\left(T_2\circ T_1\right)\times\binom{x}{y}\\\binom{x'}{y'}&=\left(M_2\cdot M_1\right)\times\binom{x}{y}\\\end{aligned}

  • M_1adalah matriks transformasi untukT_1 (pencerminan terhadap sumbu-X). Maka:
    M_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
  • M_2adalah matriks transformasi untukT_2 (dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3). Maka:
    M_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}

Peta/bayangan dari setiap titik pada kurva y = x² – 3x + 2 hasil komposisi transformasi T_1dilanjutkanT_2 adalah:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\left(M_2\cdot M_1\right)\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3+0&0+0\\0+0&0-3\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3&0\\0&-3\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\binom{3x+0}{0-3y}\\\binom{x'}{y'}&=\binom{3x}{-3y}\\\end{aligned}

Sehingga:

\begin{aligned}&\bullet\ x'=3x\iff x=\frac{x'}{3}\\&\bullet\ y'=-3y\iff y=-\frac{y'}{3}\\\end{aligned}

Substitusi ke dalam persamaan kurva yang dipetakan.

\begin{aligned}y&=x^2-3x+2\\\frac{-y'}{3}&=\left(\frac{x'}{3}\right)^2-3\left(\frac{x'}{3}\right)+2\\\frac{-y'}{3}&=\frac{\left(x'\right)^2}{9}-x'+2\quad\bigg\}\times9\\-3y'&=\left(x'\right)^2-9x'+18\\\Rightarrow\ &3y'+\left(x'\right)^2-9x'+18=0\\\therefore\ &\textsf{Persamaan peta}:\\&\boxed{\,3y+x^2-9x+18=0\,}\end{aligned}
______________

Cara II: Selesaikan Satu Per Satu

Kita juga dapat menentukan persamaan peta dengan menyelesaikannya satu per satu.
(Sekaligus untuk memeriksa jawaban di atas.)

  • T_1 : pencerminan terhadap sumbu-X.
    Tanpa matriks transformasi:
    x’ = x, y' = –y
    Substitusi ke dalam persamaan kurva:
    y = x² – 3x + 2
    ⇒ –y’ = (x')² – 3x' + 2
    ⇒ y' = –(x’)² + 3x' – 2
    Persamaan peta hasil T_1 :
    y = –x² + 3x – 2
  • T_2: dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3.
    Tanpa matriks transformasi:
    x' = 3x, y' = 3y
    ⇒ x = x'/3, y = y'/3
    Substitusi ke dalam persamaan peta hasil T_1:
    y = –x² + 3x – 2
    ⇒ y'/3 = –(x'/3)² + 3(x'/3) – 2
    ⇒ y'/3 = –[ (x')²/9 ] + x' – 2
    Kalikan kedua ruas dengan 9.
    ⇒ 3y' = –(x')² + 9x' – 18
    ⇒ 3y' + (x')² – 9x' + 18 = 0

Diperoleh persamaan peta:
3y + x² – 9x + 18 = 0
(sama dengan hasil pada cara I)
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu-X dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah:[tex]\boxed{\,3y+x^2-9x+18=0\,}[/tex](tidak ada pada opsi jawaban) PenjelasanTransformasi GeometriDiketahuiKurva y = x² – 3x + 2 yang mengalami transformasi (secara berurutan):[tex]T_1[/tex] : pencerminan terhadap sumbu-X[tex]T_2[/tex] : dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3.DitanyakanPersamaan peta kurva tersebut.PenyelesaianCara I: Komposisi TransformasiPencerminan dan dilatasi dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks transformasi berbentuk matriks persegi 2×2. Karena dimensi matriks transformasinya sama, kedua transformasi secara berurutan tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah matriks transformasi komposisi.Jika [tex]M_1[/tex] dan [tex]M_2[/tex] berturut-turut menyatakan matriks transformasi untuk transformasi [tex]T_1[/tex] dan [tex]T_2[/tex], maka komposisi transformasi [tex]T_1[/tex] dilanjutkan [tex]T_2[/tex] dinyatakan dengan:[tex]\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\left(T_2\circ T_1\right)\times\binom{x}{y}\\\binom{x'}{y'}&=\left(M_2\cdot M_1\right)\times\binom{x}{y}\\\end{aligned}[/tex][tex]M_1[/tex] adalah matriks transformasi untuk [tex]T_1[/tex] (pencerminan terhadap sumbu-X). Maka:[tex]M_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}[/tex][tex]M_2[/tex] adalah matriks transformasi untuk [tex]T_2[/tex] (dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3). Maka:[tex]M_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}[/tex]Peta/bayangan dari setiap titik pada kurva y = x² – 3x + 2 hasil komposisi transformasi [tex]T_1[/tex] dilanjutkan [tex]T_2[/tex] adalah:[tex]\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\left(M_2\cdot M_1\right)\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3+0&0+0\\0+0&0-3\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\begin{pmatrix}3&0\\0&-3\end{pmatrix}\times\binom{x}{y}\\&=\binom{3x+0}{0-3y}\\\binom{x'}{y'}&=\binom{3x}{-3y}\\\end{aligned}[/tex]Sehingga:[tex]\begin{aligned}&\bullet\ x'=3x\iff x=\frac{x'}{3}\\&\bullet\ y'=-3y\iff y=-\frac{y'}{3}\\\end{aligned}[/tex]Substitusi ke dalam persamaan kurva yang dipetakan.[tex]\begin{aligned}y&=x^2-3x+2\\\frac{-y'}{3}&=\left(\frac{x'}{3}\right)^2-3\left(\frac{x'}{3}\right)+2\\\frac{-y'}{3}&=\frac{\left(x'\right)^2}{9}-x'+2\quad\bigg\}\times9\\-3y'&=\left(x'\right)^2-9x'+18\\\Rightarrow\ &3y'+\left(x'\right)^2-9x'+18=0\\\therefore\ &\textsf{Persamaan peta}:\\&\boxed{\,3y+x^2-9x+18=0\,}\end{aligned}[/tex]______________Cara II: Selesaikan Satu Per SatuKita juga dapat menentukan persamaan peta dengan menyelesaikannya satu per satu.(Sekaligus untuk memeriksa jawaban di atas.)[tex]T_1[/tex] : pencerminan terhadap sumbu-X.Tanpa matriks transformasi:x’ = x, y' = –ySubstitusi ke dalam persamaan kurva:y = x² – 3x + 2⇒ –y’ = (x')² – 3x' + 2⇒ y' = –(x’)² + 3x' – 2Persamaan peta hasil [tex]T_1[/tex] :y = –x² + 3x – 2[tex]T_2[/tex]: dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3.Tanpa matriks transformasi:x' = 3x, y' = 3y⇒ x = x'/3, y = y'/3Substitusi ke dalam persamaan peta hasil T_1:y = –x² + 3x – 2⇒ y'/3 = –(x'/3)² + 3(x'/3) – 2⇒ y'/3 = –[ (x')²/9 ] + x' – 2Kalikan kedua ruas dengan 9.⇒ 3y' = –(x')² + 9x' – 18⇒ 3y' + (x')² – 9x' + 18 = 0Diperoleh persamaan peta:3y + x² – 9x + 18 = 0(sama dengan hasil pada cara I)  [tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 29 May 23
<< Previous Post
Next Post >>