Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital untuk menghitung nilai limit fungsi saat x mendekati 4. Pertama-tama, kita perlu menghitung turunan dari pembilang dan penyebut fungsi tersebut:

f'(x) = 2ax + b/(2*sqrt(x)) - 3/(x-4)^2

g'(x) = 2x - 3

Kita dapat menghitung limit fungsi asli dengan menghitung limit dari pembilang dan penyebutnya secara terpisah dan kemudian membaginya. Sehingga:

lim,x->4 (ax^2 + bsqrt(x) - 8)/(x^2 - 3x - 4)

= lim,x->4 (2ax + b/(2sqrt(x)) - 3/(x-4)^2) / (2x - 6)

= lim,x->4 (2a + b/(4*x^(3/2)) - 3/(x-4)^3) / 2

= a - 3/16

Kita diketahui bahwa limit tersebut sama dengan 2, sehingga kita dapat menyelesaikan persamaan berikut:

a - 3/16 = 2

a = 35/16

Kita telah mengetahui nilai a, selanjutnya kita perlu mencari nilai b. Untuk itu, kita bisa menyelesaikan persamaan awal dengan mengganti nilai a yang telah ditemukan dan menyelesaikan persamaan tersebut terhadap b. Sehingga:

lim,x->4 (35/16 * x^2 + b*sqrt(x) - 8)/(x^2 - 3x - 4) = 2

35/16 * 4^2 + bsqrt(4) - 8 = 2 * (4^2 - 34 - 4 * 2)

35/16 * 16 + 4b - 8 = 0

35 + 64b = 128

b = 93/64

Oleh karena itu, nilai ab adalah:

ab = (35/16) * (93/64) = 243/64