1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Terdapat papan berukuran 2000×2000 persegi kecil. Setiap gridnya hanya dapat

Berikut ini adalah pertanyaan dari anginanginkel pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Terdapat papan berukuran 2000×2000 persegi kecil. Setiap gridnya hanya dapat diisi dengan 1 atau -1. Misalkan Bk adalah hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-k dan Ck adalah hasil kali semua persegi kecil pada kolom ke-k. Nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi -1 sehingga Bk+Ck = 0 untuk k = 1, 2, ..., 2000 adalah ...(Tolong jelaskan juga maksud dari pemisalan Bk dan Ck karena masih belum paham :( )

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai minimumdari total banyaknya persegi kecil yangberisi –1sehinggaB_k+C_k = 0 untuk k = 1, 2, ..., 2000 adalah 1000.
Untuk setiap k, hanya ada dua kemungkinan banyak persegi kecil yang berisi –1, yaitu 0 atau 1, sehingga nilai minimumdari banyaknya persegi kecil yangberisi –1untuk setiapkadalah0.
 

Pembahasan

Diketahui

  • Papan berukuran 2000×2000 persegi kecil.
  • Setiap grid (kotak persegi kecil) hanya dapat diisi dengan 1atau–1.
  • B_k menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-k.
  • C_k menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada kolom ke-k.

Ditanyakan

  • Nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga B_k+C_k = 0 untuk k = 1, 2, ..., 2000.

PENYELESAIAN

Misalkan ukuran dari papan dinyatakan dengan x\times y, di mana xmenyatakan nomor kolom dany menyatakan nomor baris.
Misalkan pula setiap persegi kecil dinyatakan dengan P_{x,y}.

Maka: x = 1, 2, ..., 2000, dan y = 1, 2, ..., 2000.

Kita dapat menganggap grid pada papan tersebut ibarat matriks persegi ordo 2000×2000.

Untuk setiap baris:

Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-1 dinyatakan oleh:

\large\text{$\begin{aligned}B_1&=P_{1,1}\cdot P_{2,1}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,1}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,1}\end{aligned}$}

Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-2 dinyatakan oleh:

\large\text{$\begin{aligned}B_2&=P_{1,2}\cdot P_{2,2}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,2}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,2}\end{aligned}$}

Dan seterusnya.

Untuk setiap kolom:

Hasil kali semua persegi pada kolom ke-1 dinyatakan oleh:

\large\text{$\begin{aligned}C_1&=P_{1,1}\cdot P_{1,2}\cdot {\dots}\cdot P_{1,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{1,y}\end{aligned}$}

Hasil kali semua persegi pada kolom ke-2 dinyatakan oleh:

\large\text{$\begin{aligned}C_2&=P_{2,1}\cdot P_{2,2}\cdot {\dots}\cdot P_{2,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{2,y}\end{aligned}$}

Dan seterusnya.

Jadi, misalkan hanya terdapat 3×3 persegi kecil pada papan, dengan isi acak sebagai berikut:

  • Baris pertama:  1    –1    1
  • Baris kedua:     –1    1     1
  • Baris ketiga:     –1    1   –1

Maka:

  • B_1 = 1 × (–1) × 1 = –1
  • B_2 = –1 × 1 × 1 = –1
  • B_3 = –1 × 1 × (–1) = 1
  • C_1 = 1 × (–1) × (–1) = 1
  • C_2 = –1 × 1 × 1 = –1
  • C_3 = 1 × 1 × (–1) = –1

Untuk papan 2000×2000 persegi, pada persoalan ini kita ingin meminimumkan banyak persegi kecil yang berisi –1sehingga memenuhiB_k+C_k = 0 untuk k = 1, 2, ..., 2000.

Kita punya pilihan 2 cara, yaitu:

  • 1 + (–1) = 0
    ⇒ B_k = 1, C_k = –1
  • –1 + 1 = 0
    ⇒ B_k = –1, C_k = 1

Kita langsung saja ilustrasikan agar lebih jelas.

Pertama-tama, isi semua persegi kecil dengan 1.

Jika kita berpikir bahwa –1 diisikan secara diagonal, maka kita tidak bisa memperoleh nilai minimumnya, karena pada setiap baris, atau setiap kolom (tergantung pilihan cara), kita harus menegatifkan 1 persegi lagi.

Prinsip dasarnya adalah (pilih salah satu):

  • Untuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-(k+1) kolom ke-k: P_{k, k+1}, atau
  • Untuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-k kolom ke-(k+1): P_{k+1, k}.

Silahkan perhatikan gambar juga. Mungkin akan dapat membantu memahami.

Untuk k = 1: Negatifkan P_{1, 2} ⇒ –1.

  • B_1 = 1 × 1 × ... × 1 = 1
  • C_1 = 1 × (–1) × 1 × ,,, × 1 = –1
  • B_1 + C_1 = 0

Untuk k = 2: Kita sudah punya P_{1, 2} = –1.

  • B_2 = –1 × 1 × 1 × ... × 1 = –1
  • C_2 = 1 × 1 × ... × 1 = 1
  • B_2 + C_2 = 0

Untuk k = 3: Negatifkan P_{3, 4} ⇒ –1.

  • B_3 = 1 × 1 × ... × 1 = 1
  • C_3 = 1 × 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1
  • B_3 + C_3 = 0

Untuk k = 4: Kita sudah punya P_{3, 4} = –1.

  • B_4 = 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1
  • C_4 = 1 × 1 × ... × 1 = 1
  • B_3 + C_4 = 0

Dan seterusnya.

Jadi, yang perlu dinegatifkan adalah persegi:
\large\text{$\begin{aligned}&P_{\bf1, 2}, P_{\bf3, 4}, P_{\bf5, 6}, P_{\bf7, 8}, P_{\bf9, 10},{\dots},\\&P_{\bf1997, 1998}, P_{\bf1999, 2000}\end{aligned}$}

  • 1000 persegi kecil berisi nilai –1.
  • Pada saat k ganjil, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris kdan kolomkadalah1.
  • Pada saat k genap, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris kdan kolomkadalah0.

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga B_k+C_k = 0 untuk k = 1, 2, ..., 2000 terjadi pada saat k genap, yaitu 1000 (nilai minimum total).
\blacksquare

Nilai minimum dari total banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 adalah 1000. Untuk setiap [tex]k[/tex], hanya ada dua kemungkinan banyak persegi kecil yang berisi –1, yaitu 0 atau 1, sehingga nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 untuk setiap [tex]k[/tex] adalah 0. PembahasanDiketahuiPapan berukuran 2000×2000 persegi kecil.Setiap grid (kotak persegi kecil) hanya dapat diisi dengan 1 atau –1.[tex]B_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-k.[tex]C_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada kolom ke-k.DitanyakanNilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.PENYELESAIANMisalkan ukuran dari papan dinyatakan dengan [tex]x\times y[/tex], di mana [tex]x[/tex] menyatakan nomor kolom dan [tex]y[/tex] menyatakan nomor baris.Misalkan pula setiap persegi kecil dinyatakan dengan [tex]P_{x,y}[/tex].Maka: x = 1, 2, ..., 2000, dan y = 1, 2, ..., 2000.Kita dapat menganggap grid pada papan tersebut ibarat matriks persegi ordo 2000×2000.Untuk setiap baris:Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_1&=P_{1,1}\cdot P_{2,1}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,1}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,1}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_2&=P_{1,2}\cdot P_{2,2}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,2}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,2}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Untuk setiap kolom:Hasil kali semua persegi pada kolom ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_1&=P_{1,1}\cdot P_{1,2}\cdot {\dots}\cdot P_{1,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{1,y}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi pada kolom ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_2&=P_{2,1}\cdot P_{2,2}\cdot {\dots}\cdot P_{2,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{2,y}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Jadi, misalkan hanya terdapat 3×3 persegi kecil pada papan, dengan isi acak sebagai berikut:Baris pertama:  1    –1    1Baris kedua:     –1    1     1Baris ketiga:     –1    1   –1Maka:[tex]B_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 = –1[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]B_3[/tex] = –1 × 1 × (–1) = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × (–1) = 1[tex]C_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × (–1) = –1Untuk papan 2000×2000 persegi, pada persoalan ini kita ingin meminimumkan banyak persegi kecil yang berisi –1 sehingga memenuhi [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.Kita punya pilihan 2 cara, yaitu:1 + (–1) = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = 1, [tex]C_k[/tex] = –1–1 + 1 = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = –1, [tex]C_k[/tex] = 1Kita langsung saja ilustrasikan agar lebih jelas.Pertama-tama, isi semua persegi kecil dengan 1.Jika kita berpikir bahwa –1 diisikan secara diagonal, maka kita tidak bisa memperoleh nilai minimumnya, karena pada setiap baris, atau setiap kolom (tergantung pilihan cara), kita harus menegatifkan 1 persegi lagi.Prinsip dasarnya adalah (pilih salah satu):Untuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-(k+1) kolom ke-k: [tex]P_{k, k+1}[/tex], atauUntuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-k kolom ke-(k+1): [tex]P_{k+1, k}[/tex].Silahkan perhatikan gambar juga. Mungkin akan dapat membantu memahami.Untuk k = 1: Negatifkan [tex]P_{1, 2}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_1[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 × ,,, × 1 = –1[tex]B_1 + C_1 = 0[/tex]Untuk k = 2: Kita sudah punya [tex]P_{1, 2}[/tex] = –1.[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_2[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_2[/tex] + [tex]C_2[/tex] = 0Untuk k = 3: Negatifkan [tex]P_{3, 4}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_3[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]B_3 + C_3 = 0[/tex]Untuk k = 4: Kita sudah punya [tex]P_{3, 4}[/tex] = –1.[tex]B_4[/tex] = 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_4[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_3 + C_4 = 0[/tex]Dan seterusnya.Jadi, yang perlu dinegatifkan adalah persegi:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&P_{\bf1, 2}, P_{\bf3, 4}, P_{\bf5, 6}, P_{\bf7, 8}, P_{\bf9, 10},{\dots},\\&P_{\bf1997, 1998}, P_{\bf1999, 2000}\end{aligned}$}[/tex]1000 persegi kecil berisi nilai –1.Pada saat [tex]k[/tex] ganjil, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 1.Pada saat [tex]k[/tex] genap, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 0.KESIMPULAN∴  Dengan demikian, nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 terjadi pada saat [tex]k[/tex] genap, yaitu 1000 (nilai minimum total).[tex]\blacksquare[/tex]Nilai minimum dari total banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 adalah 1000. Untuk setiap [tex]k[/tex], hanya ada dua kemungkinan banyak persegi kecil yang berisi –1, yaitu 0 atau 1, sehingga nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 untuk setiap [tex]k[/tex] adalah 0. PembahasanDiketahuiPapan berukuran 2000×2000 persegi kecil.Setiap grid (kotak persegi kecil) hanya dapat diisi dengan 1 atau –1.[tex]B_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-k.[tex]C_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada kolom ke-k.DitanyakanNilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.PENYELESAIANMisalkan ukuran dari papan dinyatakan dengan [tex]x\times y[/tex], di mana [tex]x[/tex] menyatakan nomor kolom dan [tex]y[/tex] menyatakan nomor baris.Misalkan pula setiap persegi kecil dinyatakan dengan [tex]P_{x,y}[/tex].Maka: x = 1, 2, ..., 2000, dan y = 1, 2, ..., 2000.Kita dapat menganggap grid pada papan tersebut ibarat matriks persegi ordo 2000×2000.Untuk setiap baris:Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_1&=P_{1,1}\cdot P_{2,1}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,1}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,1}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_2&=P_{1,2}\cdot P_{2,2}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,2}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,2}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Untuk setiap kolom:Hasil kali semua persegi pada kolom ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_1&=P_{1,1}\cdot P_{1,2}\cdot {\dots}\cdot P_{1,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{1,y}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi pada kolom ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_2&=P_{2,1}\cdot P_{2,2}\cdot {\dots}\cdot P_{2,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{2,y}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Jadi, misalkan hanya terdapat 3×3 persegi kecil pada papan, dengan isi acak sebagai berikut:Baris pertama:  1    –1    1Baris kedua:     –1    1     1Baris ketiga:     –1    1   –1Maka:[tex]B_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 = –1[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]B_3[/tex] = –1 × 1 × (–1) = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × (–1) = 1[tex]C_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × (–1) = –1Untuk papan 2000×2000 persegi, pada persoalan ini kita ingin meminimumkan banyak persegi kecil yang berisi –1 sehingga memenuhi [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.Kita punya pilihan 2 cara, yaitu:1 + (–1) = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = 1, [tex]C_k[/tex] = –1–1 + 1 = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = –1, [tex]C_k[/tex] = 1Kita langsung saja ilustrasikan agar lebih jelas.Pertama-tama, isi semua persegi kecil dengan 1.Jika kita berpikir bahwa –1 diisikan secara diagonal, maka kita tidak bisa memperoleh nilai minimumnya, karena pada setiap baris, atau setiap kolom (tergantung pilihan cara), kita harus menegatifkan 1 persegi lagi.Prinsip dasarnya adalah (pilih salah satu):Untuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-(k+1) kolom ke-k: [tex]P_{k, k+1}[/tex], atauUntuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-k kolom ke-(k+1): [tex]P_{k+1, k}[/tex].Silahkan perhatikan gambar juga. Mungkin akan dapat membantu memahami.Untuk k = 1: Negatifkan [tex]P_{1, 2}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_1[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 × ,,, × 1 = –1[tex]B_1 + C_1 = 0[/tex]Untuk k = 2: Kita sudah punya [tex]P_{1, 2}[/tex] = –1.[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_2[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_2[/tex] + [tex]C_2[/tex] = 0Untuk k = 3: Negatifkan [tex]P_{3, 4}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_3[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]B_3 + C_3 = 0[/tex]Untuk k = 4: Kita sudah punya [tex]P_{3, 4}[/tex] = –1.[tex]B_4[/tex] = 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_4[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_3 + C_4 = 0[/tex]Dan seterusnya.Jadi, yang perlu dinegatifkan adalah persegi:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&P_{\bf1, 2}, P_{\bf3, 4}, P_{\bf5, 6}, P_{\bf7, 8}, P_{\bf9, 10},{\dots},\\&P_{\bf1997, 1998}, P_{\bf1999, 2000}\end{aligned}$}[/tex]1000 persegi kecil berisi nilai –1.Pada saat [tex]k[/tex] ganjil, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 1.Pada saat [tex]k[/tex] genap, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 0.KESIMPULAN∴  Dengan demikian, nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 terjadi pada saat [tex]k[/tex] genap, yaitu 1000 (nilai minimum total).[tex]\blacksquare[/tex]Nilai minimum dari total banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 adalah 1000. Untuk setiap [tex]k[/tex], hanya ada dua kemungkinan banyak persegi kecil yang berisi –1, yaitu 0 atau 1, sehingga nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 untuk setiap [tex]k[/tex] adalah 0. PembahasanDiketahuiPapan berukuran 2000×2000 persegi kecil.Setiap grid (kotak persegi kecil) hanya dapat diisi dengan 1 atau –1.[tex]B_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-k.[tex]C_k[/tex] menyatakan hasil kali semua persegi kecil pada kolom ke-k.DitanyakanNilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.PENYELESAIANMisalkan ukuran dari papan dinyatakan dengan [tex]x\times y[/tex], di mana [tex]x[/tex] menyatakan nomor kolom dan [tex]y[/tex] menyatakan nomor baris.Misalkan pula setiap persegi kecil dinyatakan dengan [tex]P_{x,y}[/tex].Maka: x = 1, 2, ..., 2000, dan y = 1, 2, ..., 2000.Kita dapat menganggap grid pada papan tersebut ibarat matriks persegi ordo 2000×2000.Untuk setiap baris:Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_1&=P_{1,1}\cdot P_{2,1}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,1}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,1}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi kecil pada baris ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}B_2&=P_{1,2}\cdot P_{2,2}\cdot{\dots}\cdot P_{2000,2}\\&=\prod_{x=1}^{2000}P_{x,2}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Untuk setiap kolom:Hasil kali semua persegi pada kolom ke-1 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_1&=P_{1,1}\cdot P_{1,2}\cdot {\dots}\cdot P_{1,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{1,y}\end{aligned}$}[/tex]Hasil kali semua persegi pada kolom ke-2 dinyatakan oleh:[tex]\large\text{$\begin{aligned}C_2&=P_{2,1}\cdot P_{2,2}\cdot {\dots}\cdot P_{2,2000}\\&=\prod_{y=1}^{2000}P_{2,y}\end{aligned}$}[/tex]Dan seterusnya.Jadi, misalkan hanya terdapat 3×3 persegi kecil pada papan, dengan isi acak sebagai berikut:Baris pertama:  1    –1    1Baris kedua:     –1    1     1Baris ketiga:     –1    1   –1Maka:[tex]B_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 = –1[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]B_3[/tex] = –1 × 1 × (–1) = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × (–1) = 1[tex]C_2[/tex] = –1 × 1 × 1 = –1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × (–1) = –1Untuk papan 2000×2000 persegi, pada persoalan ini kita ingin meminimumkan banyak persegi kecil yang berisi –1 sehingga memenuhi [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000.Kita punya pilihan 2 cara, yaitu:1 + (–1) = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = 1, [tex]C_k[/tex] = –1–1 + 1 = 0⇒ [tex]B_k[/tex] = –1, [tex]C_k[/tex] = 1Kita langsung saja ilustrasikan agar lebih jelas.Pertama-tama, isi semua persegi kecil dengan 1.Jika kita berpikir bahwa –1 diisikan secara diagonal, maka kita tidak bisa memperoleh nilai minimumnya, karena pada setiap baris, atau setiap kolom (tergantung pilihan cara), kita harus menegatifkan 1 persegi lagi.Prinsip dasarnya adalah (pilih salah satu):Untuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-(k+1) kolom ke-k: [tex]P_{k, k+1}[/tex], atauUntuk setiap k ganjil, negatifkan persegi baris ke-k kolom ke-(k+1): [tex]P_{k+1, k}[/tex].Silahkan perhatikan gambar juga. Mungkin akan dapat membantu memahami.Untuk k = 1: Negatifkan [tex]P_{1, 2}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_1[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_1[/tex] = 1 × (–1) × 1 × ,,, × 1 = –1[tex]B_1 + C_1 = 0[/tex]Untuk k = 2: Kita sudah punya [tex]P_{1, 2}[/tex] = –1.[tex]B_2[/tex] = –1 × 1 × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_2[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_2[/tex] + [tex]C_2[/tex] = 0Untuk k = 3: Negatifkan [tex]P_{3, 4}[/tex] ⇒ –1.[tex]B_3[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]C_3[/tex] = 1 × 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]B_3 + C_3 = 0[/tex]Untuk k = 4: Kita sudah punya [tex]P_{3, 4}[/tex] = –1.[tex]B_4[/tex] = 1 × 1 × (–1) × 1 × ... × 1 = –1[tex]C_4[/tex] = 1 × 1 × ... × 1 = 1[tex]B_3 + C_4 = 0[/tex]Dan seterusnya.Jadi, yang perlu dinegatifkan adalah persegi:[tex]\large\text{$\begin{aligned}&P_{\bf1, 2}, P_{\bf3, 4}, P_{\bf5, 6}, P_{\bf7, 8}, P_{\bf9, 10},{\dots},\\&P_{\bf1997, 1998}, P_{\bf1999, 2000}\end{aligned}$}[/tex]1000 persegi kecil berisi nilai –1.Pada saat [tex]k[/tex] ganjil, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 1.Pada saat [tex]k[/tex] genap, banyaknya persegi kecil yang berisi –1 pada baris [tex]k[/tex] dan kolom [tex]k[/tex] adalah 0.KESIMPULAN∴  Dengan demikian, nilai minimum dari banyaknya persegi kecil yang berisi –1 sehingga [tex]B_k+C_k = 0[/tex] untuk k = 1, 2, ..., 2000 terjadi pada saat [tex]k[/tex] genap, yaitu 1000 (nilai minimum total).[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 30 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>