1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Buktikan bahwa:[tex] \boxed{a < b \to a < \frac{a

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan bahwa: \boxed{a < b \to a < \frac{a + b}{2} < b}
.
.
.
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&a < b\ \Rightarrow\ a < \frac{a+b}{2} < b\end{aligned}
terbukti.
 

Penjelasan

Pernyataan yang akan dibuktikan adalah implikasi:

\boxed{\vphantom{\bigg|}\,P:a < b\ \Rightarrow\ a < \frac{a+b}{2} < b\,}

Pada ruas kanan, terdapat 3 ruas pertidaksamaan dengan tanda yang sama. Pembuktiannya dibagi menjadi dua pernyataan, yaitu:

\begin{aligned}\bullet\ &P1:a < b\ \Rightarrow\ a < \frac{a+b}{2}\\\bullet\ &P2:a < b\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{2} < b\end{aligned}
sehingga P\equiv P1\land P2, dan agar P benar, masing-masing P1danP2 harus benar.

Perhatikan bahwa arah implikasi adalah “kiri ke kanan”. Maka, yang menjadi dasar pembuktian adalah ruas kiri pernyataan.

\begin{aligned}\forall a,b\in\mathbb{R}:\\a < b\ &\Rightarrow\ 2a < a+b\\\equiv\ a < b\ &\Rightarrow a < \frac{a+b}{2}\\\therefore\ P1&\ {\sf benar.}\end{aligned}

Uraian:
Untuk setiap bilangan real adanb, jika a < bmaka2a < a+b.
Hal tersebut ekuivalen dengan jika a < bmakaa < (a+b)/2.
Oleh karena itu, P1 benar.

\begin{aligned}\forall a,b\in\mathbb{R}:\\a < b\ &\Rightarrow\ a+b < 2b\\\equiv\ a < b\ &\Rightarrow\ \frac{a+b}{2} < b\\\therefore\ P2&\ {\sf benar.}\end{aligned}

Uraian:
Untuk setiap bilangan real adanb, jika a < bmakaa+b < 2b.
Hal tersebut ekuivalen dengan jika a < bmaka(a+b)/2 < b.
Oleh karena itu, P2 benar.

Sehingga:

\begin{aligned}P &\equiv P1\land P2\\&\equiv \sf benar \land benar\\P&\equiv \sf benar.\end{aligned}

KESIMPULAN
Karena P benar, maka terbukti bahwa
\displaystyle a < b\ \Rightarrow\ a < \frac{a+b}{2} < b\ .
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh 07hellothere70 dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 27 May 23
<< Previous Post
Next Post >>