1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan [tex]\displaystyle \left\{\begin{matrix}4x=\sqrt{16y^2-1}+\sqrt{16z^2-1}\\ 4y=\sqrt{16z^2-1}+\sqrt{16x^2-1}\\ 4z=\sqrt{16x^2-1}+\sqrt{16y^2-1}\end{matrix}\right.[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan\displaystyle \left\{\begin{matrix}4x=\sqrt{16y^2-1}+\sqrt{16z^2-1}\\ 4y=\sqrt{16z^2-1}+\sqrt{16x^2-1}\\ 4z=\sqrt{16x^2-1}+\sqrt{16y^2-1}\end{matrix}\right.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan
\begin{cases}4x=\sqrt{16y^2-1}+\sqrt{16z^2-1}\\4y=\sqrt{16z^2-1}\:+\sqrt{16x^2-1}\\4z=\sqrt{16x^2-1}\:+\sqrt{16y^2-1}\end{cases}
adalah { (x, y, z) | x = y = z = 1/(2√3) }.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan sistem persamaan:

\begin{cases}4x=\sqrt{16y^2-1}+\sqrt{16z^2-1}&...(\bf1)\\4y=\sqrt{16z^2-1}\:+\sqrt{16x^2-1}&...(\bf2)\\4z=\sqrt{16x^2-1}\:+\sqrt{16y^2-1}&...(\bf3)\end{cases}

Sebelum melanjutkan, kita perhatikan bahwa ruas kanan dari setiap persamaan adalah penjumlahan dari bentuk akar. Oleh karena itu, baik x, y, maupun z semuanya bernilai positif.

Ambil X=\sqrt{16x^2-1}, Y=\sqrt{16y^2-1}, dan Z=\sqrt{16z^2-1}.

Dengan mengkuadratkan dan mengurangi 1 pada kedua ruas untuk setiap persamaan, kita peroleh

\begin{cases}X^2=(Y+Z)^2-1&...(\bf4)\\Y^2=(Z+X)^2-1&...(\bf5)\\Z^2=(X+Y)^2-1&...(\bf6)\end{cases}

atau ekuivalen dengan

\begin{cases}X^2=(Y+Z+1)(Y+Z-1)&...(\bf4a)\\Y^2=(Z+X+1)(Z+X-1)&...(\bf5a)\\Z^2=(X+Y+1)(X+Y-1)&...(\bf6a)\end{cases}

Jumlahkan persamaan (4), (5), dan (6), maka akan diperoleh:

\begin{aligned}&X^2+Y^2+Z^2=(Y+Z)^2+(Z+X)^2+(X+Y)^2-3\\&\Rightarrow X^2+Y^2+Z^2=2X^2+2Y^2+2Z^2+2(XY+YZ+ZX)-3\\&\Rightarrow X^2+Y^2+Z^2+2(XY+YZ+ZX)=3\\&\Rightarrow (X+Y+Z)^2=3\end{aligned}

Karena X=\sqrt{16x^2-1}dan4x=Y+Z, maka:

\begin{aligned}3&=(X+Y+Z)^2\\&=\left(\sqrt{16x^2-1}+4x\right)^2\\\pm\sqrt{3}&=\sqrt{16x^2-1}+4x\\\end{aligned}

Untuk \sqrt{3}=\sqrt{16x^2-1}+4x:

\begin{aligned}\sqrt{16x^2-1}&=\sqrt{3}-4x\\\cancel{16x^2}-1&=3+\cancel{16x^2}-8x\sqrt{3}\\8x\sqrt{3}&=4\\2x\sqrt{3}&=1\\x&=\bf\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{6}\sqrt{3}\end{aligned}

Untuk -\sqrt{3}=\sqrt{16x^2-1}+4x, tidak ada solusi karena ruas kanan positif.

Kemudian, karena 4y = Z+XdanZ = 4x - Y, maka

\begin{aligned}4y&= 4x - Y + X\\4y+Y&=4x+X\\4y+\sqrt{16y^2-1}&=4x+\sqrt{16x^2-1}\end{aligned}

Bentuk kedua ruas sama persis, dengan variabel yang berbeda.

Untuk nilai x dan y positif, jelas bahwa nilai y = x. Begitu pula untuk z.

Karena 4z = X + YdanX = 4y - Z, maka:

\begin{aligned}4z&= 4y - Z + Y\\4z+Z&=4y+Y\\4z+\sqrt{16z^2-1}&=4y+\sqrt{16y^2-1}\end{aligned}

Jelas pula bahwa z = y, sehingga kesimpulannya adalah x = y = z.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan di atas adalah:

\begin{aligned}\left \{ (x,y,z)\mid x=y=z=\bf\frac{1}{2\sqrt{3}} \right \}\end{aligned}

Alternatif lain:

\begin{aligned}\left \{ (x,y,z)\mid x=y=z=\bf\frac{1}{6}\sqrt{3} \right \}\end{aligned}

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 13 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>