1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. Ditentukan barisan geometri yaitu 4, 4√3, 12, 12√3,...,8.748. Banyaknya

Berikut ini adalah pertanyaan dari dinda2174 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1. Ditentukan barisan geometri yaitu 4, 4√3, 12, 12√3,...,8.748. Banyaknya suku pada barisan geometri ini adalah ganjil.a. Carilah suku tengahnya!
Jawab:


b. Suku keberapakah suku tengahnya itu? Jawab:

c. Berapakah banyaknya suku barisan itu? Jawab:



​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Dari barisan geometri yang diberikan, diperoleh:

  • a. Suku tengah = 108√3.
  • b. Suku tengah tersebut adalah suku ke-8 pada barisan geometri yang diberikan.
  • c. Banyak suku barisan geometri tersebut adalah 15 suku.

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Dari barisan geometri 4, 4√3, 12, 12√3,...,8.748, kita peroleh:

  • Suku pertama: U₁ = a = 4.
  • Suku terakhir: Uₙ = 8.748
  • Rasio: r = √3.

Soal a: Nilai suku tengah

Pada barisan geometri dengan banyak suku ganjil, jika suku pertama dan terakhir diketahui, maka suku tengahnya dapat ditentukan dengan:

\begin{aligned}U_{\sf tengah}&=\sqrt{U_1\cdot U_n}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}U_{\sf tengah}&=\sqrt{4\cdot8748}\\&=\sqrt{4\cdot4\cdot2187}\\&=\sqrt{4\cdot4\cdot81\cdot27}\\&=\sqrt{4^2\cdot3^4\cdot3^3}\\&=\sqrt{4^2\cdot3^6\cdot3}\\&=4\cdot3^3\cdot\sqrt{3}\\&=4\cdot27\cdot\sqrt{3}\\U_{\sf tengah}&=\boxed{\,\bf108\sqrt{3}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Soal b: Indeks suku tengah

Karena kita sudah tahu nilai suku tengahnya, maka indeks suku tengah barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan:

\begin{aligned}n_{\sf tengah}&={}^r\log\left(\frac{U_{\sf tengah}}{U_1}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(\frac{108\sqrt{3}}{4}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(27\sqrt{3}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(3^3\cdot\sqrt{3}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left[\left(\sqrt{3}\right)^6\cdot\sqrt{3}\right]+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left[\left(\sqrt{3}\right)^7\right]+1\\&=7\cdot\left[{}^{\sqrt{3}}\log\left(\sqrt{3}\right)\right]+1\\&=7\cdot1+1\\n_{\sf tengah}&=\boxed{\,\bf8\,}\end{aligned}

Atau, dengan langkah-langkah yang lebih mendasar sebagai berikut.

\begin{aligned}U_{\sf tengah}&=U_1\cdot r^{n_{\sf tengah}-1}\\r^{n_{\sf tengah}-1}&=\frac{U_{\sf tengah}}{U_1}\\\left(\sqrt{3}\right)^{n_{\sf tengah}-1}&=\frac{108\sqrt{3}}{4}\\&=27\sqrt{3}=3^3\sqrt{3}\\&=\left(\sqrt{3}\right)^6\cdot\sqrt{3}\\\left(\sqrt{3}\right)^{n_{\sf tengah}-1}&=\left(\sqrt{3}\right)^7\\n_{\sf tengah}-1&=7\\n_{\sf tengah}&=\boxed{\,\bf8\,}\end{aligned}
\blacksquare

Soal c: Banyaknya suku

Karena kita sudah tahu indeks suku tengah, maka banyaknya suku pada barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan:

\begin{aligned}n&=2\cdot n_{\sf tengah}-1\\&=2\cdot 8 - 1\\n&=\boxed{\,\bf15\,}\end{aligned}

Atau, dengan cara sepetri pada penyelesaian soal b di atas.

\begin{aligned}n&={}^r\log\left(\frac{U_n}{U_1}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(\frac{8748}{4}\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(2187\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left(3^7\right)+1\\&={}^{\sqrt{3}}\log\left[\left(\sqrt{3}\right)^{14}\right]+1\\&=14+1\\n&=\boxed{\,\bf15\,}\end{aligned}
\blacksquare
 

Tambahan untuk memeriksa

Barisan geometri tersebut secara lengkap adalah:
4, 4√3, 12, 12√3, 36, 36√3, 108, 108√3, 324, 324√3, 972, 972√3, 2.196, 2.196√3, 8.748.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 15 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>