Jawaban:

Dengan metode karush kuhn Tucker tentukan maksimum dari z = 12x1 + 21x2 + 2x1x2 − 2x1 2 − 2x2 2 Dengan kendala x1 + x2 ≤ 10, x2 ≤ 8 , x1, x2 ≥ 0

Sekarang kita periksa nilai λ1 dan λ2. Karena λ1 dan λ2 ≥ 0, maka kita dapat menetapkan λ1 = 0 dan λ2 = 0. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi optimal dari fungsi tersebut adalah x1 = 0.75 dan x2 = 7.5, dengan nilai maksimum z = 12(0.75) + 21(7.5) + 2(0.75)(7.5) − 2(0.75)^2 − 2(7.5)^2 = 97.125.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menemukan maksimum dari fungsi tersebut dengan menggunakan metode Karush-Kuhn-Tucker (KKT), pertama-tama kita perlu memperoleh bentuk lagrangian dari fungsi tersebut dengan memperkenalkan variabel lagrange yang bernilai λ1 dan λ2. Lagrangian dari fungsi tersebut adalah:

L(x1, x2, λ1, λ2) = 12x1 + 21x2 + 2x1x2 − 2x1^2 − 2x2^2 + λ1(x1 + x2 - 10) + λ2(x2 - 8)

Selanjutnya, kita harus menetapkan persamaan KKT yang terdiri dari empat persamaan:

∂L/∂x1 = 0, ∂L/∂x2 = 0 (persamaan stationer)

λ1(x1 + x2 - 10) = 0

λ2(x2 - 8) = 0

λ1, λ2 ≥ 0

Dari persamaan stationer, kita dapat menyelesaikan:

∂L/∂x1 = 0 -> 24x1 + 2x2 - 4x1 = 0 -> 20x1 = 2x2 -> x1 = x2/10

∂L/∂x2 = 0 -> 21 + 2x1 - 4x2 = 0 -> 21 + 2(x2/10) - 4x2 = 0 -> x2(2/10 - 4) = 21 -> x2 = 7.5

Menggunakan hasil di atas, kita sekarang dapat memeriksa apakah x1 dan x2 memenuhi persamaan kendala. Karena x1 + x2 ≤ 10, maka x1 + x2 = x1 + (x1*10) = 11x1 ≤ 10. Karena x1 = x2/10, maka x1 = 7.5/10 = 0.75. Karena x1 = 0.75 ≤ 1, maka x1 dan x2 memenuhi kendala x1 + x2 ≤ 10. Selanjutnya, kita periksa apakah x2 memenuhi kendala x2 ≤ 8. Karena x2 = 7.5 ≤ 8, maka x2 juga memenuhi kendala x2 ≤ 8.