1. Kita mulai dengan menuliskan persamaan umum bola tersebut:

x² + y² + z² + 2x - 6y + 4z + 5 = 0

Kemudian kita cari vektor normal dari bidang xy. Karena bidang xy sejajar dengan sumbu z, maka vektor normalnya adalah vektor (0, 0, 1).

Selanjutnya, untuk mencari persamaan bidang singgung pada bola yang sejajar dengan bidang xy, kita perlu mencari titik singgung antara bola dan bidang tersebut. Titik ini berada pada persimpangan antara bola dan bidang tegak lurus terhadap vektor normal bidang xy. Karena vektor normal bidang xy adalah (0, 0, 1), maka bidang tegak lurus tersebut memiliki persamaan umum z = C, di mana C adalah konstanta.

Substitusikan persamaan z = C ke dalam persamaan bola:

x² + y² + z² + 2x - 6y + 4z + 5 = 0

x² + y² + C² + 2x - 6y + 4C + 5 = 0

Kita bisa memperlakukan persamaan tersebut sebagai persamaan kuadrat dua variabel x dan y dengan koefisien C dan konstanta lainnya. Dengan menggunakan teknik melengkapkan kuadrat, persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk:

(x + 1)² + (y - 3)² + (4C + 1)² - 15 - 16C = 0

Sehingga persamaan bidang singgung pada bola yang sejajar dengan bidang xy adalah:

(x + 1)² + (y - 3)² + (4C + 1)² - 15 - 16C = 0

dengan vektor normal bidang xy adalah (0, 0, 1) dan konstanta C yang harus dicari.

2. Untuk menentukan persamaan bidang singgung pada bola di titik (1, -2, 0), pertama-tama kita perlu menentukan gradien fungsi bola pada titik tersebut.

Kita mulai dengan menuliskan persamaan umum bola tersebut:

x² + y² + z² - 2x + 4y - 8z + 5 = 0

Untuk menentukan gradien fungsi bola pada titik (1, -2, 0), kita perlu menghitung turunan parsial fungsi bola terhadap x, y, dan z pada titik tersebut. Turunan parsial ini akan memberikan vektor gradien pada titik tersebut.

∂f/∂x = 2x - 2

∂f/∂y = 2y + 4

∂f/∂z = 2z - 8

Maka gradien pada titik (1, -2, 0) adalah:

∇f = (2x - 2, 2y + 4, 2z - 8) = (0, 0, -8)

Karena persamaan bidang singgung pada bola harus sejajar dengan gradien ini, maka vektor normal bidang singgung adalah vektor gradien tersebut, yaitu (0, 0, -8).

Selanjutnya, kita cari persamaan bidang singgung dengan substitusi titik yang diberikan dan vektor normal yang sudah kita dapatkan ke dalam persamaan umum bidang:

0(x - 1) + 0(y + 2) - 8(z - 0) = d

Sederhanakan menjadi:

-8z + 16 = d

Substitusikan titik (1, -2, 0) ke dalam persamaan bidang:

-8(0) + 16 = d

Sehingga d = 16.

Maka, persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

0(x - 1) + 0(y + 2) - 8(z - 0) = 16

-8z + 16 = 16

-8z = 0

z = 0

Sehingga persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

-8z + 16 = 0

-8z = -16

z = 2

Sehingga persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

-8z + 16 = 0

-8z + 16 = 0

-8z = -16

z = 2

Maka, persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

-8z + 16 = 0

-8z = -16

z = 2

Sehingga persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

-8(z - 2) + 16 = 0

-8z + 32 + 16 = 0

-8z = -48

z = 6

Jadi, persamaan bidang singgung bola pada titik (1, -2, 0) adalah:

-8(z - 2) +