1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

buktikan phytagoras dengan menggunakan pengintegralan dengan jelas​

Berikut ini adalah pertanyaan dari nuchiyah pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Buktikan phytagoras dengan menggunakan pengintegralan dengan jelas​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pembuktian Teorema Pythagoras dengan Integral

Silahkan perhatikan gambar yang dilampirkan.

Pertama-tama, anggap kita punya segitiga siku-siku \triangle OAByang siku-siku diA, dengan titik sudut O(0, 0), A(x, 0), dan B(x, y).
\overline{OA} \perp \overline{AB}dan\overline{OB} adalah sisi miring (hipotenusa) dari \triangle OAB.

\overline{OB} merupakan segmen (bagian) dari garis lurus gyang memiliki gradienm_g=y/x. Anggap terdapat garis h ⊥ garis g. Gradien garis hadalahm_h=-x/y.

Setiap titik (x, y)dengany > 0yang berjarakcdari titik pusat koordinatO(0, 0) akan terletak pada kurva:

\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y}\end{aligned}

karena secara simbolik setiap titik (x,y) merupakan titik singgung dari garis singgung yang bergradien nilai turunan pertama dari fungsi kurva.

Kita tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tersebut.

\begin{aligned}&\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\\&\Rightarrow y\,dy=-x\,dx\\&\Rightarrow \int y\,dy=-\int x\,dx\\&\Rightarrow \frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C_1\\&\Rightarrow y^2=-x^2+C_2\,,\ C_2=2C_1\\&\Rightarrow x^2+y^2=C_2\quad...(i)\end{aligned}

Pada sumbu-X, kita memiliki titik (\pm c, 0)yang berjarakc dari titik pusat koordinat. Sedangkan pada sumbu-Y, kita memiliki titik (0, c)yang berjarakc dari titik pusat koordinat.

Subtitusikan ke dalam persamaan (i).

\begin{aligned}(\pm c,0):\ &(\pm c)^2+0^2=C_2\\&\Rightarrow C_2=c^2\\(0,c):\ &0^2+c^2=C_2\\&\Rightarrow C_2=c^2\\\end{aligned}

Jadi, C_2=c^2, sehingga untuk persamaan (i):

x^2+y^2=c^2.

Dengan menetapkan nilai x = adany = bsehingga titikAberkoordinat(a, 0), titik Bberkoordinat(a, b), dan \triangle OABmemiliki alasadan tinggib, kita peroleh:

\boxed{\,a^2+b^2=c^2\,}
⇒ Terbukti.
\blacksquare

Pembuktian Teorema Pythagoras dengan IntegralSilahkan perhatikan gambar yang dilampirkan.Pertama-tama, anggap kita punya segitiga siku-siku [tex]\triangle OAB[/tex] yang siku-siku di [tex]A[/tex], dengan titik sudut [tex]O(0, 0)[/tex], [tex]A(x, 0)[/tex], dan [tex]B(x, y)[/tex]. [tex]\overline{OA} \perp \overline{AB}[/tex] dan [tex]\overline{OB}[/tex] adalah sisi miring (hipotenusa) dari [tex]\triangle OAB[/tex]. [tex]\overline{OB}[/tex] merupakan segmen (bagian) dari garis lurus [tex]g[/tex] yang memiliki gradien [tex]m_g=y/x[/tex]. Anggap terdapat garis [tex]h[/tex] ⊥ garis [tex]g[/tex]. Gradien garis [tex]h[/tex] adalah [tex]m_h=-x/y[/tex].Setiap titik [tex](x, y)[/tex] dengan [tex]y > 0[/tex] yang berjarak [tex]c[/tex] dari titik pusat koordinat [tex]O(0, 0)[/tex] akan terletak pada kurva:[tex]\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y}\end{aligned}[/tex]karena secara simbolik setiap titik [tex](x,y)[/tex] merupakan titik singgung dari garis singgung yang bergradien nilai turunan pertama dari fungsi kurva. Kita tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tersebut.[tex]\begin{aligned}&\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\\&\Rightarrow y\,dy=-x\,dx\\&\Rightarrow \int y\,dy=-\int x\,dx\\&\Rightarrow \frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C_1\\&\Rightarrow y^2=-x^2+C_2\,,\ C_2=2C_1\\&\Rightarrow x^2+y^2=C_2\quad...(i)\end{aligned}[/tex]Pada sumbu-[tex]X[/tex], kita memiliki titik [tex](\pm c, 0)[/tex] yang berjarak [tex]c[/tex] dari titik pusat koordinat. Sedangkan pada sumbu-[tex]Y[/tex], kita memiliki titik [tex](0, c)[/tex] yang berjarak [tex]c[/tex] dari titik pusat koordinat.Subtitusikan ke dalam persamaan (i).[tex]\begin{aligned}(\pm c,0):\ &(\pm c)^2+0^2=C_2\\&\Rightarrow C_2=c^2\\(0,c):\ &0^2+c^2=C_2\\&\Rightarrow C_2=c^2\\\end{aligned}[/tex]Jadi, [tex]C_2=c^2[/tex], sehingga untuk persamaan (i):[tex]x^2+y^2=c^2.[/tex]Dengan menetapkan nilai [tex]x = a[/tex] dan [tex]y = b[/tex] sehingga titik [tex]A[/tex] berkoordinat [tex](a, 0)[/tex], titik [tex]B[/tex] berkoordinat [tex](a, b)[/tex], dan [tex]\triangle OAB[/tex] memiliki alas [tex]a[/tex] dan tinggi [tex]b[/tex], kita peroleh:[tex]\boxed{\,a^2+b^2=c^2\,}[/tex]⇒ Terbukti.[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 07 May 23
<< Previous Post
Next Post >>