1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Yang manakah dari vektor berikut yang merupakan kombinasi linier dari

Berikut ini adalah pertanyaan dari aminsiddikrangkuti pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Yang manakah dari vektor berikut yang merupakan kombinasi linier dari vektor u = (1,-1,3) dan vektor v = (2,4,0). Tuliskan penjabarannya satu per satu !a. (3,3,3)      
b. (4,2,6)      
c. (1,5,6)      
d. (0,0,0) ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Yang merupakan kombinasi linierdari vektor\vec{u} = (1,-1,3)dan vektor\vec{v} = (2,4,0) adalah:

  • {\bf(3,3,3)}=\vec{u}+\vec{v}    
  • {\bf(4,2,6)}=2\vec{u}+\vec{v}
  • {\bf(0,0,0)}=0\vec{u}+0\vec{v}

 

Penjelasan dengan langkah-langkah

Kombinasi Linier

Untuk vektor (0, 0, 0)

Dari semua vektor yang diberikan, yang paling jelas merupakan kombinasi linierdari\vec{u}dan\vec{v} adalah (0, 0, 0), karena:

\boxed{\,{\bf(0,0,0)}=0\vec{u}+0\vec{v}\,}

Untuk vektor (3, 3, 3)

Kita bentuk sistem persamaan linier x_1\vec{u} + x_2\vec{v} = (3,3,3), yang menghasilkan matriks lengkap (augmented matrix):

\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:3\\-1&4\:&\:3\\3&0\:&\:3\end{array}\right)

Tanpa menyelesaikan dengan matriks eselon baris tereduksi, kita tahu bahwa 1+2=3, –1+4=3, dan 3+0=3.

Oleh karena itu, vektor (3, 3, 3) merupakan kombinasi linierdari\vec{u}dan\vec{v} yang dapat dinyatakan dengan:

\boxed{\,{\bf(3,3,3)}=\vec{u}+\vec{v}\,}

Untuk vektor (4, 2, 6)

Untuk vektor ini, sebenarnya juga cukup jelas bahwa (4,2,6)=2\vec{u}+\vec{v}. Namun, kita coba selesaikan dengan OBE.

Matriks lengkap dari sistem persamaan linier yang terbentuk adalah:

\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:4\\-1&4\:&\:2\\3&0\:&\:6\end{array}\right)

Pengubahan menjadi matriks eselon baris tereduksi dengan OBE:

\begin{aligned}&\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:4\\-1&4\:&\:2\\3&0\:&\:6\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}R_2+R_1\to R_2\\R_3-3R_1\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:4\\0&6\:&\:6\\0&-6\:&\:-6\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}\frac{1}{6}R_2\to R_2\\\vphantom{\Big|}-\frac{1}{6}R_3\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:4\\0&1\:&\:1\\0&1\:&\:1\end{array}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_1-2R_2\to R_1\\R_3-R_2\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&0\:&\:2\\0&1\:&\:1\\0&0\:&\:0\end{array}\right)\\\end{aligned}

Kita peroleh x_1=2danx_2=1.

Oleh karena itu, vektor (4, 2, 6) merupakan kombinasi linierdari\vec{u}dan\vec{v} yang dapat dinyatakan dengan:

\boxed{\,{\bf(4,2,6)}=2\vec{u}+\vec{v}\,}

Untuk vektor (1, 5, 6)

Matriks lengkap dari sistem persamaan linier yang terbentuk adalah:

\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\-1&4\:&\:5\\3&0\:&\:6\end{array}\right)

Pengubahan menjadi matriks eselon baris tereduksi dengan OBE:

\begin{aligned}&\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\-1&4\:&\:5\\3&0\:&\:6\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}R_2+R_1\to R_2\\R_3-3R_1\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\0&6\:&\:6\\0&-6\:&\:3\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}\frac{1}{6}R_2\to R_2\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\0&1\:&\:1\\0&-6\:&\:3\end{array}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_3+6R_2\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\0&1\:&\:1\\0&0\:&\:9\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}\frac{1}{9}R_3\to R_3\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:1\\0&1\:&\:1\\0&0\:&\:1\end{array}\right)\\&\begin{array}{r}R_1-R_3\to R_1\\R_2-R_3\to R_2\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&2\:&\:0\\0&1\:&\:0\\0&0\:&\:1\end{array}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_1-2R_2\to R_1\end{array}\Rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1&0\:&\:0\\0&1\:&\:0\\0&0\:&\:1\end{array}\right)\\\end{aligned}

Pada baris ketiga, terdapat inkonsistensi, yaitu 0 = 1. Maka SPL tersebut inkonsisten, artinya SPL tersebut tidak memiliki solusi.

Oleh karena itu, vektor (1, 5, 6) bukan merupakan kombinasi linierdari\vec{u}dan\vec{v}.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh unknown dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 05 May 23
<< Previous Post
Next Post >>