Tentukan jarak terdekat antara parabola y= x²+1 dan garis y=

Berikut ini adalah pertanyaan dari Dani1907 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan jarak terdekat antara parabola y= x²+1 dan garis y= ½x

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jarak terdekatantara parabolay = x² + 1dan garisy = ½x adalah (3/8)√5.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan parabola y = x² + 1, kita akan menentukan jarak terdekat antara parabola tersebut dengan garis y = ½x.

Langkah 1
Cek Titik Potong

Substitusi y ← ½x pada parabola:
x² – ½x + 1 = 0
Diskriminan:
D = ¼ – 4 < 0
⇒ Tidak terdapat titik potong.

Atau pakai cara lain.
Titik minimum y = x² + 1 adalah (0, 1)
Garis y = ½x memotong sumbu koordinat (0, 0) dan bergradien kurang dari 2 (dari (x² + 1)' = 2x).
⇒ Maka, tidak terdapat titik potong.

Karena tidak terdapat titik potong, lanjutkan.

Langkah 2
Tentukan Titik Terdekat

Jarak terdekat dari kurva lengkung $f(x)$ ke garis lurus $g$ yang tidak memotongnya adalah jarak dari garis lurus tersebut ke titik singgung pada kurva $f(x)$ akibat singgungan oleh garis lurus $h$ yang paralel (sejajar) dengan garis $g$ .

$g$ : y = ½x
⇒ $m_g$ = ½

Untuk garis $h$ , tidak perlu mencari persamaan garisnya.
$m_h = m_g = f'(x)$ (dari kurva)
⇒ ½ = (x² + 1)’ = 2x
⇒ x = ¼

Ordinat titik singgung:
y = (¼)² + 1 = 17/16

Titik singgung yang kita cari:
(1/4, 17/16).

Langkah 3
Tentukan Jarak

Jarak dari titik $(x_1, y_1)$ ke garis $ax + by + c = 0$ diberikan oleh:

$\begin{aligned}d&=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{aligned}$

Dari garis lurus y = ½x atau ½x – y = 0:
a = ½, b = –1, c = 0.

Maka, jarak dari titik (1/4, 17/16) ke garis y = ½x yang merupakan jarak terdekat yang kita cari, adalah:

$\begin{aligned}d&=\frac{\left|\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{17}{16}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2}}\\&=\frac{\left|\dfrac{1}{8}-\dfrac{17}{16}\right|}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+1}}\:=\:\frac{\left|-\dfrac{15}{16}\right|}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}}\\&=\frac{15}{16}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\:=\:\frac{3\sqrt{5}\cancel{\sqrt{5}}}{8}\cdot\frac{1}{\cancel{\sqrt{5}}}\\d&=\boxed{\,\bf\frac{3}{8}\sqrt{5}\,}\end{aligned}$