1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Nilai dari [tex]\displaystyle ^4\log \left ( \sqrt{3+\sqrt{5}}~-\sqrt{3-\sqrt{5}} \right )-~^8\log \left (

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai dari\displaystyle ^4\log \left ( \sqrt{3+\sqrt{5}}~-\sqrt{3-\sqrt{5}} \right )-~^8\log \left ( \sqrt{4+\sqrt{7}}~-\sqrt{4-\sqrt{7}} \right )
adalah ...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&{}^4\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)\:-\:{}^8\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)\\&=\boxed{\,\bf\frac{1}{12}\,}\end{aligned}
 

Pembahasan

Eksponen dan Logaritma

\begin{aligned}&{}^4\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)\:-\:{}^8\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)\\&{=\ }\frac{{}^2\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)}{{}^2\log4}\:-\:\frac{{}^2\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)}{{}^2\log8}\\&{=\ }\frac{{}^2\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)}{2}\:-\:\frac{{}^2\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{6}\cdot\left[3\cdot{}^2\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)\:-\:2\cdot{}^2\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)\right]\\&{=\ }\frac{1}{6}\cdot\left[{}^2\log\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)^3\:-\:{}^2\log\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)^2\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{6}\cdot{}^2\log\left[\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)^3}{\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)^2}\right]\quad...(i)\end{aligned}

Untuk pembilang, perhatikan bahwa a³ = a² · a = a²√(a²).
Maka, kita cari kuadratnya terlebih dahulu.

\begin{aligned}&\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)^2\\&{=\ }\left(3+\sqrt{5}\right)-2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}+\left(3-\sqrt{5}\right)\\&{=\ }3+3+\sqrt{5}-\sqrt{5}-2\sqrt{9-5}\\&{=\ }6-2\sqrt{4}\\&{=\ }\bf2\end{aligned}

Sehingga:

\begin{aligned}&\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)^3{=\ }\bf2\sqrt{2}\end{aligned}

Untuk penyebut:

\begin{aligned}&\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)^2\\&{=\ }\left(4+\sqrt{7}\right)-2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(4-\sqrt{7}\right)}+\left(4-\sqrt{7}\right)\\&{=\ }4+4+\sqrt{7}-\sqrt{7}-2\sqrt{16-7}\\&{=\ }8-2\sqrt{9}\\&{=\ }\bf2\end{aligned}

Substitusi kedua hasil di atas pada (i).

\begin{aligned}&(i):\frac{1}{6}\cdot{}^2\log\left[\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\:\right)^3}{\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\:\right)^2}\right]\\&{=\ }\frac{1}{6}\cdot{}^2\log\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)\\&{=\ }\frac{1}{6}\cdot{}^2\log\left(\sqrt{2}\right)\\&{=\ }\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\ =\ \boxed{\,\bf\frac{1}{12}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 15 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>