1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

pernyataan ke terbagi an dari bilangan asli sebagai berikut : 5^2n

Berikut ini adalah pertanyaan dari neisya5691 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Pernyataan ke terbagi an dari bilangan asli sebagai berikut :5^2n - 1 habis dibagi 3
pembuktian yang tepat untuk langkah induks n=k + 1 adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pernyataan yang ingin dibuktikan:
5^{2n} - 1 habis dibagi 3.

Karena yang ditanyakan adalah langkah induksiuntukn = k+1, maka berlaku asumsi/hipotesis untuk n = k, yaitu 5^{2k} - 1 habis dibagi 3.

Langkah Induksi

\begin{aligned}5^{2(k+1)}-1&=5^{2k+2} - 1\\&=5^{2k}\cdot5^{2}-1\\&=5^{2k}\cdot25-1\\&=5^{2k}\cdot25-25+24\\&=25\!\!\!\!\!\underbrace{\left(5^{2k}-1\right)}_{\begin{matrix}\sf habis\ dibagi\ 3\end{matrix}}\!\!\!\!\!{}+24\\&=25\cdot3K+24\,,\ K\in\mathbb{Z}\\&=3\cdot25K+3\cdot8\\&=3(25K+8)\\5^{2(k+1)}-1&=3M\,,\ M\in\mathbb{Z}\end{aligned}

3M habis dibagi 3. Oleh karena itu, 5^{2(k+1)}-1 habis dibagi 3.

⇒ Langkah induksi untuk n = k+1 terbukti benar.

______________

Catatan:
Langkah induksi yang tepat tidak harus seperti langkah/cara di atas. Setiap orang mungkin memiliki caranya sendiri. Yang terpenting adalah pembuktian yang dilakukan sesuai dengan kaidah matematika dan khususnya induksi matematika.

Sebagai contoh: bagi yang menguasai atau sudah mempelajari aritmetika modular, pembuktian di atas dapat dilakukan dengan cara membuktikan kekongruenan modular 5^{2(k+1)}-1\equiv0\ (\!\!\!\!\mod 3), yang artinya 5^{2(k+1)}-1 dibagi 3 bersisa 0.

Yang terpenting pada persoalan ini, langkah induksi dirancang sedemikian rupa sehingga mengarahkan pembuktian pada keterbagian 5^{2(k+1)}-1 oleh 3.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 27 Dec 22
<< Previous Post
Next Post >>