1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. Jika f(x) = 2x - 4, tentukan nilai lim

Berikut ini adalah pertanyaan dari iyaagaa1789 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

1. Jika f(x) = 2x - 4, tentukan nilai lim h→0 f(x+h)-f(x)/h2. carilah penyelesaian dari Lim x→∞ 4x³-6x²-3x+16 / 2x³ +3x² -5x-2 ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1
Jika f(x) = 2x – 4, maka:
\begin{aligned}&\lim_{x\to h}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}

Nomor 2
\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty}\,\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}=\boxed{\,\bf2\,}\\\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Limit dan Turunan

Nomor 1

Perhatikan bahwa berdasarkan definisi turunan,

\begin{aligned}f'(x)&=\lim_{x\to h}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{aligned}

Maka, jawaban dari pertanyaan ini adalah (2x - 4)' = 2.

Penyelesaian dengan limit adalah sebagai berikut.

\begin{aligned}&\lim_{x\to h}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,,\ f(x)=2x-4\\&{=\ }\lim_{x\to h}\,\frac{2(x+h)-4-(2x-4)}{h}\\&{=\ }\lim_{x\to h}\,\frac{\cancel{2x}+2h-\cancel{4}-\cancel{2x}+\cancel{4}}{h}\\&{=\ }\lim_{x\to h}\,\frac{2\cancel{h}}{\cancel{h}}=\lim_{x\to h}2\\&{=\ }\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}
\blacksquare

Nomor 2

Kita akan mencari nilai dari

\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty}\,\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}\end{aligned}

CARA PERTAMA: Cara Cepat

Perhatikan bahwa pada pembilang dan penyebut, suku dengan pangkat terbesar adalah 4x³ dan 2x³. Untuk nilai limit ketika x mendekati tak hingga dari bentuk pecahan seperti itu, jika pangkat dari suku berpangkat terbesarnya sama, maka nilainya adalah hasil bagi dari koefisien suku berpangkat terbesar pada pembilang oleh koefisien suku berpangkat terbesar pada penyebut.

Jadi:
\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty}\,\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}=\boxed{\,\bf2\,}\\\end{aligned}
\blacksquare

CARA KEDUA: Penjabaran

Penjabaran hingga memperoleh cara cepat pada cara pertama di atas adalah sebagai berikut.

\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty}\,\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\left(\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}\times\frac{1/x^3}{1/x^3}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\left(\frac{4-\dfrac{6}{x}-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{16}{x^3}}{2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}}\right)\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(4-\dfrac{6}{x}-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{16}{x^3}\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)}\\&{=\ }\frac{4-0-0+0}{2+0-0-0}\\&{=\ }\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}
\blacksquare

CARA KETIGA: Aturan L’Hopital

Karena fungsi dalam limit bernilai ∞/∞ jika x = ∞, maka kita dapat menggunakan aturan L’Hopital untuk mencari nilai limitnya.

\begin{aligned}&\lim_{x\to \infty}\,\frac{4x^3-6x^2-3x+16}{2x^3+3x^2-5x-2}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{\frac{d}{dx}\left(4x^3-6x^2-3x+16\right)}{\frac{d}{dx}\left(2x^3+3x^2-5x-2\right)}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{12x^2-12x-3}{6x^2+6x-5}\\&\quad\rightarrow\textsf{Masih berbentuk }\infty/\infty.\\&\quad\rightarrow\textsf{Gunakan aturan L'H\^opital lagi.}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{\frac{d}{dx}\left(12x^2-12x-3\right)}{\frac{d}{dx}\left(6x^2+6x-5\right)}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{24x-12}{12x+6}\\&\quad\rightarrow\textsf{Masih berbentuk }\infty/\infty.\\&\quad\rightarrow\textsf{Gunakan aturan L'H\^opital lagi.}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{\frac{d}{dx}(24x-12)}{\frac{d}{dx}(12x+6)}\\&{=\ }\lim_{x\to \infty}\,\frac{24}{12}=\lim_{x\to \infty}\,2\\&{=\ }\boxed{\,\bf2\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 30 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>