1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks-matriks berikut. ​

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks-matriks berikut.
​
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks-matriks berikut. ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

> Nilai eigen untuk matriks tersebut adalah λ = 3 atau λ = 4.

> Vektor eigen untuk λ = 3 adalah \boldsymbol{\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 1\end{bmatrix}}.

> Vektor eigen untuk λ = 4 adalah \boldsymbol{\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}.

PEMBAHASAN

Nilai eigen (dilambangkan dengan λ) merupakan nilai karakteristik dari suatu matriks n x n. Sedangkan vektor eigen merupakan vektor kolom bukan nol yang apabila dikalikan dengan suatu matriks n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor eigen itu sendiri.

Untuk mencari nilai eigen, maka matriks harus memenuhi persamaan:

det(\lambda I-A)=0

Sedangkan untuk mencari vektor eigennya, maka matriks harus memenuhi persamaan :

(\lambda I-A)x=0

Dengan :

A = matriks yang ingin dicari nilai eigennya

I = matriks identitas

λ = nilai eigen

x = vektor eigen

.

DIKETAHUI

Matriks~\begin{bmatrix}1 &3 \\ -2 &6 \end{bmatrix}

.

DITANYA

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Mencari nilai eigen.

(\lambda I-A)=\lambda\begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 &3 \\ -2 &6 \end{bmatrix}

(\lambda I-A)=\begin{bmatrix}\lambda-1 &-3 \\ 2 &\lambda-6\end{bmatrix}

.

Maka :

det(\lambda I-A)=0

(\lambda-1)(\lambda-6)-2(-3)=0

\lambda^2-7\lambda+6+6=0

\lambda^2-7\lambda+12=0

(\lambda-3)(\lambda-4)=0

\lambda=3~atau~\lambda=4

Diperoleh nilai eigennya adalah λ = 3 atau λ = 4.

.

> Mencari vektor eigen.

(\lambda I-A)x=0

\begin{bmatrix}\lambda-1 &-3 \\ 2 &\lambda-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}

.

Untuk λ = 3 :

\begin{bmatrix}3-1 &-3 \\ 2 &3-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}2 &-3 \\ 2 &-3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}

2x_1-3x_2=0

x_1=\frac{3}{2}x_2

.

Misal x_2=t, maka x_1=\frac{3}{2}t

Sehingga solusinya adalah :

\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 1\end{bmatrix}t

.

.

Untuk λ = 4 :

\begin{bmatrix}4-1 &-3 \\ 2 &4-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}3 &-3 \\ 2 &-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}

3x_1-3x_2=0

x_1=x_2

.

Misal x_2=t, maka x_1=t

Sehingga solusinya adalah :

\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}t

.

KESIMPULAN

> Nilai eigen untuk matriks tersebut adalah λ = 3 atau λ = 4.

> Vektor eigen untuk λ = 3 adalah \boldsymbol{\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\\ 1\end{bmatrix}}.

> Vektor eigen untuk λ = 4 adalah \boldsymbol{\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. Mencari nilai eigen dan vektor eigen : yomemimo.com/tugas/30149779
  2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen : yomemimo.com/tugas/29297758
  3. SPL dengan metode OBE : yomemimo.com/tugas/28244188
  4. Solusi trivia dan non trivia : yomemimo.com/tugas/28232435

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Aljabar Linear

Kode Kategorisasi: x.x.x

Kata Kunci : nilai eigen, vektor eigen, aljabar, linear.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 14 Apr 21
<< Previous Post
Next Post >>