Jawaban:

Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan eliminasi Gauss

X1 + 2X2 + X3 = 2

3X1 + 6X2 + = 9

2X1 + 8X2 + 4X3 = 6

Mari kita tulis sistem persamaan linier ini dalam bentuk matriks augmented:

[ 1 2 1 | 2 ]

[ 3 6 0 | 9 ]

[ 2 8 4 | 6 ]

Langkah pertama dalam eliminasi Gauss adalah mengubah matriks augmented ini menjadi matriks segitiga atas, yaitu matriks dengan bentuk:

[ a11 a12 a13 | c1 ]

[ 0 a22 a23 | c2 ]

[ 0 0 a33 | c3 ]

dengan a11, a22, dan a33 tidak sama dengan nol.

Untuk mencapai bentuk ini, kita akan menggunakan operasi baris elementer. Pertama, kita akan menggunakan operasi baris elementer untuk menghilangkan koefisien 3 pada entri (2,1):

[ 1 2 1 | 2 ]

[ 0 0 -3 | 3 ]

[ 2 8 4 | 6 ]

Kemudian, kita akan menggunakan operasi baris elementer untuk menghilangkan koefisien 2 pada entri (3,1):

[ 1 2 1 | 2 ]

[ 0 0 -3 | 3 ]

[ 0 4 2 | 2 ]

Sekarang kita memiliki matriks segitiga atas. Langkah terakhir adalah mengubahnya menjadi bentuk persamaan linier dan menyelesaikannya secara mundur. Dari baris ketiga, kita memiliki:

4X2 + 2X3 = 2

Kita bisa menyelesaikan untuk X2:

X2 = (2 - 2X3)/4

Dari baris kedua, kita memiliki:

-3X3 = 3

Kita bisa menyelesaikan untuk X3:

X3 = -1

Akhirnya, dari baris pertama, kita memiliki:

X1 + 2X2 + X3 = 2

Kita bisa substitusikan nilai X2 dan X3 yang telah kita temukan:

X1 + 2(2-2(-1)) + (-1) = 2

Simplifikasi:

X1 + 6 = 2

X1 = -4

Jadi, solusi dari sistem persamaan linier adalah X1 = -4, X2 = 1, dan X3 = -1.