Jawaban:

persamaan elips yang dicari adalah x^2 / a^2 + y^2 / 4 = 1.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persamaan elips dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan standar:

(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

di mana (h, k) adalah titik pusat elips, a adalah setengah panjang sumbu panjang, dan b adalah setengah panjang sumbu pendek.

Jika titik-titik api elips terletak pada sumbu X dan simetris terhadap 0, maka titik pusatnya akan terletak di (0, k). Jadi, dengan menggunakan informasi yang diberikan bahwa setengah panjang sumbu pendeknya adalah 2, persamaan elips yang dicari adalah:

(x - 0)^2 / a^2 + (y - k)^2 / 2^2 = 1

Kita tidak tahu nilai a dan k, jadi kita perlu menggunakan informasi tambahan untuk menentukannya.

Garis yang singgung pada elips dapat digambarkan sebagai garis yang sejajar dengan salah satu sumbu elips dan mengurai elips menjadi dua bagian yang simetris. Garis tersebut dapat digambarkan dengan persamaan 3x + 10y - 25 = 0.

Untuk menentukan nilai a dan k, kita perlu mencari titik-titik di mana garis tersebut singgung dengan elips. Kita dapat melakukan ini dengan mengganti nilai y dalam persamaan elips dengan nilai y yang diperoleh dari persamaan garis.

Substitusikan 3x + 10y - 25 = 0 ke dalam persamaan elips:

(x - 0)^2 / a^2 + (y - k)^2 / 2^2 = 1

(x - 0)^2 / a^2 + ( (10y - 25) / 10 - k)^2 / 2^2 = 1

(x - 0)^2 / a^2 + ( (y - 2.5) - k)^2 / 2^2 = 1

Untuk mencari titik-titik di mana garis tersebut singgung dengan elips, kita perlu mencari nilai x yang memenuhi persamaan di atas.

Dengan menggunakan teknik persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut:

x = ±√(a^2 - (k - 2.5)^2)

Kita tidak tahu nilai a dan k, jadi kita tidak dapat menyelesaikan persamaan tersebut. Namun, kita dapat menggunakan informasi tambahan untuk menentukan nilai a dan k.

Karena elips simetris terhadap sumbu X, maka titik-titik api elips terletak pada (a, 0) dan (-a, 0). Selain itu, karena elips simetris terhadap 0, maka titik pusatnya terletak pada (0, k).

Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menggunakan persamaan elips untuk mencari nilai a dan k. Substitusikan nilai x dan y yang sesuai ke dalam persamaan elips:

(a - 0)^2 / a^2 + (0 - k)^2 / 2^2 = 1

a^2 / a^2 + (-k)^2 / 2^2 = 1

1 + (-k)^2 / 2^2 = 1

(-k)^2 / 2^2 = 0

k = 0

Kita telah menemukan bahwa titik pusat elips adalah (0, 0). Sekarang, kita perlu mencari nilai a. Substitusikan nilai x dan y yang sesuai ke dalam persamaan elips:

(a - 0)^2 / a^2 + (0 - 0)^2 / 2^2 = 1

a^2 / a^2 + 0 = 1

a^2 / a^2 = 1

a = √a^2

a = a

Kita telah menemukan bahwa setengah panjang sumbu panjang elips adalah a.

Jadi, persamaan elips yang dicari adalah:

(x - 0)^2 / a^2 + (y - 0)^2 / 2^2 = 1

atau

x^2 / a^2 + y^2 / 2^2 = 1

Jika a adalah setengah panjang sumbu panjang elips, maka persamaan elips yang dicari adalah:

x^2 / a^2 + y^2 / 2^2 = 1

atau

x^2 / a^2 + y^2 / 4 = 1

Jadi, persamaan elips yang dicari adalah x^2 / a^2 + y^2 / 4 = 1.